Hier: http://www.planarity.org/Klein_elementary_graph_theory.pdf (in Kapitel Einbettungen) wird die Definition der kombinatorischen Einbettung eines planaren Graphen gegeben. (mit Definition von Flächen usw.) Obwohl es für jedes Diagramm leicht verwendet werden kann, definieren sie ein ebenes Diagramm als das Diagramm, für das die Euler-Formel gilt (vorausgesetzt, dass das Diagramm verbunden ist). Es ist ziemlich verständlich, dass für jedes ebene Diagramm die Definition von Flächen in der kombinatorischen Einbettung der Definition von Flächen in der topologischen Einbettung ähnlich ist. (Angenommen, der Graph ist verbunden. Andernfalls haben wir bei der kombinatorischen Einbettung eine unendliche Fläche für jede verbundene Komponente.)
Die Frage ist: Wenn für einen verbundenen Graphen die kombinatorische Einbettung die Euler-Formel erfüllt, bedeutet dies, dass dieser Graphen topologisch planar ist (er hat ebene Einbettung, dh er ist ebener Graph)?
Antworten:
Hier geht es weniger um das eigentliche Diagramm als vielmehr um die Topologie. Eine kombinatorische Einbettung definiert eine 2-Mannigfaltigkeit, einen topologischen Raum, in dem jeder Punkt eine Nachbarschaft aufweist, die homöomorph zu einer zweidimensionalen offenen Scheibe ist: Durch die Einbettung kann eine Fläche definiert werden, und wir können einen topologischen Raum definieren, indem wir für jede Scheibe eine Scheibe auswählen stellen Sie gegenüber und kleben Sie sie zusammen entlang den Diagrammrändern. Ein bekanntes Theorem in der Topologie (als Klassifikation von 2-Mannigfaltigkeiten bezeichnet) sagt uns genau, welche 2-Mannigfaltigkeiten möglich sind, und sie unterscheiden sich alle dadurch, ob sie orientierbar sind oder ob sie die gleiche Euler-Charakteristik haben (oder beides) ) - siehe http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/surgery/zeeman.pdfFür einige vernünftige Vorlesungsnotizen zu diesem Thema, die den gewünschten Beweis enthalten. Es gibt keine anderen 2-Mannigfaltigkeiten in dieser Klassifizierung, die dieselbe Euler-Charakteristik wie die Kugel haben. Wenn Sie also die Euler-Charakteristik berechnen und feststellen, dass sie mit der Formel für eine Kugel übereinstimmt, wissen Sie, dass Ihre Einbettung auf einer Kugel erfolgen muss.
Das Finden einer Einbettung mit tatsächlichen geometrischen Koordinaten in der Ebene ist, sobald Sie eine planare kombinatorische Einbettung haben, nicht ganz trivial, sondern kann zB mit der Theorie der Schnyder-Hölzer erfolgen. Ich habe einige Vorlesungsunterlagen dazu unter http://www.ics.uci.edu/~eppstein/gina/schnyder/ .
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