Algorithmen zur Polynomialzeitnäherung für die Maschinenplanung: Wie viele offene Probleme sind noch zu lösen?

Makespan-Minimierung auf identischen Maschinen unter Vorrangbedingungen

Offenes Problem 1. Geben Sie ein 4/3 Unannäherungsergebnis für . $4/3+\delta$ $P|prec|C_{max}$

Hier ist zunächst das diesjährige Papier von Ola Svensson "Bedingte Härte der Präzedenzbedingten Zeitplanung auf identischen Maschinen" zu nennen. In seiner Arbeit beweist Ola das

"Wenn das Einzelmaschinenproblem innerhalb eines Faktors von schwer zu approximieren ist, dann ist das betrachtete Parallelmaschinenproblem, selbst im Fall von Verarbeitungszeiten in Einheiten, innerhalb eines Faktors von schwer zu approximieren , wobei tendiert zu 0, da zu 0 tendiert. " $2-\epsilon$ $2-\zeta$ $\zeta$ $\epsilon$

Im Jahr 2008 wurde die Arbeit "Precedence Constrained Scheduling in · optimal" veröffentlicht, die einen Algorithmus für mit dem Leistungsverhältnis beschreibt. im Titel erwähnt. Dies verbessert den Coffman-Graham-Algorithmus mit gebundenem , wobei die Anzahl der Maschinen ist. $(2−\frac{7}{3p+1})$ $P|prec,p_j=1|C_{max}$ $2-\frac{2}{p}$ $p$

Die Arbeit "Approximationsalgorithmen für die Planung von Jobs mit Kettenprioritätsbeschränkungen" von Jansen und Solis-Oba enthält PTAS für und folglich für als Sonderfall des früheren Problems. $Qm|chains|C_{max}$ $Pm|chains|C_{max}$

In diesem Jahr erschien der Artikel "Approximationsschemata zum Planen von Jobs mit Kettenprioritätsbeschränkungen" von Jansen und Solis-Oba (Journalversion der vorherigen), der PTAS für ketten mit einer festen Anzahl von Jobs in jeder Kette und mit einer konstanten Anzahl von Jobs in der verbundenen Komponente jedes Auftrags. $P|chains|C_{max}$ $P|prec|C_{max}$

Makespan-Minimierung auf einheitlichen Maschinen unter Vorrangbedingungen

Die 2003 erschienene Arbeit "Approximationsalgorithmen zur Planung von Jobs mit Kettenprioritätsbeschränkungen" von Jansen und Solis-Oba enthält PTAS für . $Qm|chains|C_{max}$

Makespan-Minimierung unter Prioritätseinschränkungen mit Kommunikationsverzögerungen

Makespan-Minimierung auf unabhängigen Maschinen

Makespan-Minimierung in offenen Läden

Makespan-Minimierung in Flow-Shops

In der Veröffentlichung von Nagarajan und Sviridenko aus dem Jahr 2008 "Enge Grenzen für die Planung von Permutationsabläufen" können wir die Obergrenze für das Verhältnis zwischen optimaler Makespan und der Makespan des besten Permutationsplans finden. Diese Grenze ist das Näherungsverhältnis eines vorgeschlagenen Algorithmus, und es ist das bestmögliche unter den Algorithmen, die auf den trivialen unteren Grenzen basieren, bis zu Faktor. Übrigens sind die vorgeschlagenen Algorithmen derzeit diejenigen mit den besten Approximationsverhältnissen. $2\sqrt{2}$

Makespan-Minimierung in Job-Shops

Offenes Problem 7. Entscheide, ob es für einen Algorithmus zur Polynomzeitnäherung gibt, dessen Leistung im ungünstigsten Fall unabhängig von der Anzahl der Maschinen und / oder der maximalen Anzahl der Operationen ist. Geben Sie für 5/4 Unannäherungsergebnis an . Geben Sie ein Unangemessenheitsergebnis für dessen Wert mit der Anzahl der Maschinen bis zur Unendlichkeit wächst. $J||C_{max}$ $m$ $\mu$ $5/4+\delta$ $J||C_{max}$ $J||C_{max}$ $m$

Entwerfen Sie einen PTAS für für den Fall, dass Teil der Eingabe ist. oder die Existenz eines solchen PTAS unter P NP widerlegen . $J2||C_{max}$ $\mu$ $\ne$

Die Dissertation von Svensson "Approximierbarkeit einiger klassischer Graph- und Scheduling-Probleme" enthält Ergebnisse, die zeigen, dass nicht innerhalb von vorausgesetzt, und dass kein PTAS hat, außer . $J||C_{max}$ $O((\log lb)^{1-\epsilon})$ $NP\subseteq ZTIME(2^{\log n^{O(1/\epsilon)}})$ $J2||C_{max}$ $NP\subseteq DTIME(n^{O(\log n)})$

Gesamtdauer der Auftragserfüllung ohne Vorrang

Gesamtdauer der Auftragserfüllung unter Vorrangbedingungen

Offenes Problem 9. Man beweise, dass und keine polynomiellen mit Leistungsgarantie sei denn, P = NP. $1|prec|\sum C_j$ $1|prec|\sum w_jC_j$ $2−\epsilon$

Im "Optimal Long Code Test mit einem freien Bit" haben Bansal und Khot dies bewiesen, unter der Annahme einer neuen Variante der einzigartigen Spielehypothese.

Durchlaufzeitkriterien

Offenes Problem 10. Entwerfen Sie polynomiale mit konstanten Leistungsgarantien für und für . $1|pmtn;r_j|\sum w_jF_j$ $P|pmtn;r_j|\sum F_j$

In "Weighted Flow Time lässt keine -kompetitiven Algorithmen zu" haben Bansal und Chan bewiesen, dass "keine -kompetitiven Algorithmen zulässt". Interessanterweise zitieren die Autoren das Papier von Schuurman und Woeginger nicht. $O(1)$ $1|pmtn;r_j|\sum w_jF_j$ $O(1)$

In "Minimierung der durchschnittlichen Fließzeit: Ober- und Untergrenze" haben Garg und Kumar eine Untergrenze von für das Näherungsverhältnis für . Später wurde diese Bindung von Garg, Kumar und Muralidhara in in "Minimizing Total Flow-Time: The Unrelated Case" verbessert. $\Omega(\sqrt{\frac{\log P}{\log\log P}})$ $P|pmtn;r_j|\sum F_j$ $\Omega(\frac{\log P}{\log\log P})$

Oleksandr Bondarenko
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