Ungefähre Zählprobleme beim Erfassen von BQP

In dem Black-Box-Modell ist das Problem der Bestimmung der Ausgabe einer BPP-Maschine an der Eingabe x das ungefähre Zählproblem der Bestimmung von E r M ( x , r ) mit additivem Fehler 1/3 (sagen wir). .$M(x,r)$$x$$E_r M(x,r)$

Gibt es ein ähnliches Problem für BQP? Dieser Kommentar von Ken Regan deutet auf ein solches Problem hin

Sie können eine BPP-Frage auf die Annäherung an eine einzelne #P-Funktion reduzieren, aber mit BQP erhalten Sie den Unterschied zwischen zwei #P-Funktionen. Nennen Sie sie und g . Die getrennte Approximation von f und g hilft Ihnen nicht, f - g zu approximieren, wenn f - g nahe Null ist!$f$$g$$f$$g$$f - g$$f - g$

BQP gibt Ihnen eine kleine Hilfe: Wenn die Antwort auf die BQP-Frage für eine Eingabe Ja lautet, erhalten Sie, dass f ( x ) - g ( x ) nahe an der Quadratwurzel von 2 m liegt , wobei die Zählprädikate f definieren und g haben m binäre Variablen, nachdem Sie x ersetzt haben . (Es gibt keine Absolutwertbalken; „magisch“ erhalten Sie immer f ( x ) > g ( x ) . Unter üblichen Darstellungen von Quantenschaltungen für BQP ist $x$$f(x) - g(x)$$2^m$$f$$g$$x$$f(x) > g(x)$$m$ wird die Anzahl der Hadamard-Tore.) Wenn die Antwort nein ist, liegt die Differenz nahe bei 0.

Können Sie ein solches Problem so genau wie möglich in Bezug auf BQP formulieren? Ich hoffe auf etwas wie: Zugriff auf die Funktionen die X auf Y abbilden , mit dem Versprechen, dass ..., f - g auf ε abschätzen .$f,g$$X$$Y$$f-g$$\varepsilon$

Emanuele: Leider kennen wir kein Black-Box-Problem bei der Erfassung von BQP so einfach wie das, das Sie bei der Erfassung von BPP erwähnt haben.

Das liegt intuitiv daran, dass es schwierig ist, über BQP zu sprechen, ohne die Einheitlichkeit in der einen oder anderen Form zu bewirken . Die Fähigkeit, sowohl positive als auch negative Zahlen zu addieren, macht BQP leistungsfähiger als BPP, aber die Einheitlichkeit macht BQP weniger leistungsfähig als #P! :-)

Abgesehen davon haben Dawson et al. Papier , dass Martin Schwarz verknüpft, Sie sollten auf jeden Fall überprüfen dies und dies durch Janzing und Wocjan, die „ überraschend klassisch aussehenden“ versprechen Probleme , dass der Fang BQP geben.

Sei auch S S {0,1} ⁿ und betrachte eine Boolesche Funktion f: S → {0,1}. Dann habe ich eine Vermutung von vor Jahren, die besagt, dass Q (f), die Komplexität der Quantenabfrage mit beschränktem Fehler von f, polynomiell mit dem Mindestgrad eines reellen Polynoms p: R ⁿ → R zusammenhängt, so dass

(i) p (x) ∈ [0,1] für alle x∈ {0,1} ⁿ und

(ii) | p (x) -f (x) | ≤ ε für alle x∈S.

Wenn diese Vermutung zutrifft, dann wäre ein "Näherungszählproblem beim Erfassen von BQP" einfach, den Wert eines Polylog (n) -Polynoms p: R ⁿ → R an einem bestimmten Punkt auf dem Booleschen Würfel zu approximieren, vorausgesetzt p ist überall auf dem Booleschen Würfel begrenzt. Dies könnte ungefähr so ​​nah sein, wie man eine Antwort auf Ihre Frage bekommen könnte.

In diesem Artikel werden die oben skizzierten Ideen im Detail erläutert.