Bedeutet die Spurennorm, dass die Differenz zweier Dichtematrizen eins ist, dass diese beiden Dichtematrizen gleichzeitig diagonalisierbar sein können?

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Ich glaube, die Antwort auf diese Frage ist bekannt. aber leider weiß ich es nicht.

Beim Quantencomputing wissen wir, dass gemischte Zustände durch Dichtematrizen dargestellt werden. Und die Spurennorm der Differenz zweier Dichtematrizen kennzeichnet die Unterscheidbarkeit der beiden entsprechenden Mischzustände. Hier ist die Definition der Spurennorm die Summe aller Eigenwerte der Dichtematrix mit einem zusätzlichen multiplikativen Faktor 1/2 (entsprechend der statistischen Differenz zweier Verteilungen). Es ist bekannt, dass, wenn die Differenz zweier Dichtematrizen eins ist, die entsprechenden zwei gemischten Zustände vollständig unterscheidbar sind, während, wenn die Differenz Null ist, die beiden gemischten Zustände vollständig nicht unterscheidbar sind.

Meine Frage ist, impliziert die Spurennorm, dass die Differenz zweier Dichtematrizen eins ist, dass diese beiden Dichtematrizen gleichzeitig diagonalisierbar sein können? Wenn dies der Fall ist, verhält sich die optimale Messung zur Unterscheidung dieser beiden gemischten Zustände so, als würden zwei Verteilungen über dieselbe Domäne mit disjunkter Unterstützung unterschieden.

Jeremy Yan
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Können Sie definieren, was eine Dichtematrix ist? ist es nur eine positive bestimmte Matrix?
Suresh Venkat
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@ Suresh: Eine Dichtematrix ist eine hermitische, positive semidefinite Matrix, deren Spur gleich 1 ist.
Tsuyoshi Ito
Die Antwort auf die Frage lautet ja, da der Spurenabstand 1 impliziert, dass die beiden Dichtematrizen orthogonale Träger haben.
Tsuyoshi Ito
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@ Tsuyoshi: Vielleicht solltest du diesen Kommentar als Antwort schreiben?
Robin Kothari
@ Robin: Sicher, fertig.
Tsuyoshi Ito

Antworten:

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Hier ist eine Möglichkeit, die Tatsache zu beweisen, dass Sie interessiert sind.

Angenommen, und sind Dichtematrizen. Wie jede andere hermitesche Matrix ist es möglich , den Unterschied auszudrücken als für und positiv semidefinite und mit orthogonalen Bildern. (Manchmal wird dies als Jordan-Hahn-Zerlegung bezeichnet. Sie ist einzigartig und leicht aus einer spektralen Zerlegung von .) Beachten Sie, dass die Tatsache, dass und orthogonale Bilder haben, impliziert, dass sie gleichzeitig diagonalisierbar sind, was ich interpretiere ist die Immobilie, an der Sie interessiert sind.ρ 1 ρ 0 - ρ 1 ρ 0 - ρ 1 = P 0 - P 1 P 0 P 1 ρ 0 - ρ 1 P 0 P 1ρ0ρ1ρ0ρ1

ρ0ρ1=P0P1
P0P1ρ0ρ1P0P1

Die Trace-Norm der Differenz (wie Sie sie definieren, mit dem Multiplikationsfaktor 1/2) ist gegeben durch Unter der Annahme, dass diese Größe 1 ist, schließen wir, dass und , was beweist, was Sie beweisen möchten.ρ0ρ1

ρ0ρ1tr=12Tr(P0)+12Tr(P1).
P0=ρ0P1=ρ1

Um diese Schlussfolgerung zu ziehen, beachten Sie zunächst, dass und , also . Als nächstes nehmen und als orthogonale Projektionen auf die Bilder von bzw. . Wir haben also Beide undTr(P0)Tr(P1)=0Tr(P0)+Tr(P1)=2Tr(P0)=Tr(P1)=1Π0Π1P0P1

Π0(ρ0ρ1)=Π0(P0P1)=P0
Tr(Π0ρ0)Tr(Π0ρ1)=1.
Tr(Π0ρ0)Tr(Π0ρ1)muss in dem Intervall [0,1] enthalten sein, aus dem wir schließen, dass und . Es ist nicht schwer Aus diesen Gleichungen ist zu dem Schluss und , und daher durch die Gleichung oben. Ein ähnliches Argument zeigt .Tr(Π0ρ0)=1Tr(Π0ρ1)=0Π0ρ0=ρ0Π0ρ1=0P0=ρ0P1=ρ1
John Watrous
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Vielen Dank, Prof. Watrous. Eigentlich lerne ich all diese Spuren-Norm- und Dichtematrizen aus Ihren Vorlesungsskripten.
Jeremy Yan
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Ich möchte hinzufügen, dass alle in diesem Beitrag behandelten Themen in den Online-Vorlesungsunterlagen von Professor Watours (Vorlesung 3) zu finden sind: cs.uwaterloo.ca/~watrous/quant-info
Jeremy Yan
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Ja. Wenn der Spurenabstand zweier Dichtematrizen gleich 1 ist, haben sie orthogonale Träger und sind daher gleichzeitig diagonalisierbar.

Tsuyoshi Ito
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Ich denke die Antwort ist ja, aber ich kenne den Beweis nicht.
Jeremy Yan
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Die Hauptidee des Beweises, der zwei Dichtematrizen erstellt, ist vollständig unterscheidbar, wenn der Spurenabstand eins ist, die Diagonalisierung der Differenz der beiden Dichtematrizen; aber wie kann man beweisen, dass dieselbe Basis die beiden Dichtematrizen selbst diagonalisiert? Vielleicht sind diese beiden Dichtematrizen in Bezug auf diese Basis nicht diagonal, aber ihr Unterschied ist. Kann jemand eine Beweisidee geben oder Hinweise auf den Beweis geben? Vielen Dank.
Jeremy Yan