Die Motivation für den Einsatz von Karp-Reduzierungen in der Theorie der

Der Begriff der Polynomzeitverkürzung (Cook Reductions) ist eine Abstraktion eines sehr intuitiven Konzepts: ein Problem effizient zu lösen, indem ein Algorithmus für ein anderes Problem verwendet wird.

In der Theorie der -Vollständigkeit wird der Begriff der -Härte jedoch über Mapping-Reduktionen (Karp-Reduktionen) erfasst. Dieses Konzept der "eingeschränkten" Ermäßigung ist (zumindest für mich) weitaus weniger intuitiv. Es scheint sogar ein bisschen erfunden zu sein, da es einen etwas weniger intuitiven Begriff von Härte erzeugt; damit beziehe ich mich auf die Tatsache, dass nicht trivial . Obwohl wir in der Komplexitätstheorie sehr an das Konzept , dass das Lösen eines Problems wie nicht bedeutet, dass wir in natürlichen Umgebungen lösen können (die erfasst werden von Cook Reductions), vorausgesetzt wir haben einen Algorithmus zum LösenN P N P c o - N P S A T ¯ S A T S A T ¯ S A T S A $\mathcal{NP}$$\mathcal{NP}$$\mathcal{NP}$$co-\mathcal{NP}$$\mathsf{SAT}$$\overline{\mathsf{SAT}}$$\mathsf{SAT}$ , wir können lösen, wir den Algorithmus für und das Gegenteil zurückgeben.$\overline{\mathsf{SAT}}$$\mathsf{SAT}$

Meine Frage ist, warum wir Karp-Reduktionen für die Theorie der -Vollständigkeit verwenden sollen. Welche intuitive Vorstellung wird erfasst? In welcher Beziehung steht es zu unserem Verständnis der "Rechenhärte" in der realen Welt?$\mathcal{NP}$

Wie bei Turing-Reduktionen kamen auch bei der Komplexitätstheorie viele Reduktionen aus der Literatur zur Berechenbarkeits- / Rekursionstheorie. Cook- und Karp-Reduktionen sind natürliche komplexitätstheoretische Versionen von ähnlichen existierenden Reduktionen in der Berechenbarkeit.

Es gibt eine intuitive Art, Reduzierungen mit mehreren zu erklären: Es handelt sich um eine Einschränkung der Turing-Reduzierungen, bei der wir nur eine einzige Frage vom Orakel stellen können und die Antwort des Orakels unsere Antwort sein wird.

Die Frage ist nun, warum wir dies untersuchen müssen (und jede andere Art von Kürzungen wie Wahrheitstabelle, schwache Wahrheitstabelle usw.).

Diese Verringerungen ergeben ein besseres Bild als die Turing-Verringerungen. Turing Reductions sind zu mächtig, um zwischen vielen Konzepten zu unterscheiden. Ein sehr großer Teil der Berechenbarkeitstheorie befasst sich mit dem Studium von CE / RE-Abschlüssen. Der Begriff eines CESets ist von zentraler Bedeutung. Wir können eine TM-Maschine haben, die eine unendliche Menge aufzählen kann, wir sind möglicherweise nicht in der Lage, ihr Komplement aufzuzählen. Wenn Sie CESets studieren möchten, ist die Turing-Reduktion zu stark, da CESets nicht darunter geschlossen werden. So viele Reduzierungen sind eine (und vielleicht auch die) natürliche Art, Reduzierungen für diesen Zweck zu definieren.

Andere Arten von Reduzierungen werden aus ähnlichen Gründen definiert. Bei Interesse schlage ich vor, Piergiorgio Odifreddis "Klassische Rekursionstheorie" zu prüfen. Es hat ein ziemlich umfassendes Kapitel über verschiedene Reduktionen und ihre Beziehungen.

$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

Auf dieser Website gibt es mehrere Fragen zu den Reduzierungen von Cook gegen Karp. Ich habe keine sehr klare Beschreibung für den Neophyten gesehen, weil es in vielerlei Hinsicht von Natur aus subtil ist und ein aktives / offenes Forschungsgebiet ist. Hier sind einige Hinweise, die hilfreich sein können, um das Problem zu beheben. wikipedia fasst zusammen: "Reduzierungen um ein Vielfaches sind wertvoll, da die meisten gut untersuchten Komplexitätsklassen unter einer Art von Reduzierbarkeit um ein Vielfaches geschlossen sind, einschließlich P, NP, L, NL, Co-NP, PSPACE, EXP und vielen anderen. Diese Klassen werden jedoch nicht mit willkürlichen Viel-Eins-Ermäßigungen geschlossen. "

Es scheint fair zu sein, zu sagen, dass selbst fortgeschrittene Theoretiker aktiv über die genaue Unterscheidung und Unterschiede nachdenken, wie in den nachstehenden Quellen angegeben, und die ganze Geschichte nur verfügbar ist, wenn wichtige Trennungen zwischen offenen Komplexitätsklassen gelöst werden unbekannte.

[1] Cook versus Karp-Levin: Vollständigkeitsbegriffe trennen, wenn NP nicht klein ist (1992) Lutz, Mayordomo

[2] Sind Cook und Karp immer gleich? Beigel und Fortnow

[3] Weitere NP-Complete-Probleme (PPT) siehe Folien 9-14 zu den Unterschieden zwischen Geschichte und Cook und Karp-Reduktion