Was ist über die Komplexität des Auffindens von Mindeststromkreisen für SAT bekannt?

Was ist über die Komplexität bekannt, minimale Schaltkreise zu finden, die SAT bis zur Länge berechnen ? $n$

Genauer gesagt: Wie komplex ist eine Funktion, die bei als Eingabe eine Minimalschaltung ausgibt , die für jede Formel mit , ?$1^{n}$φ | φ | ≤ n C ( φ ) = S A T ( φ $C$$\varphi$$|\varphi| \leq n$$C(\varphi) = SAT(\varphi)$

(Ich interessiere mich speziell für untere Schranken.)

Der naive deterministische Algorithmus (Berechnen von SAT durch Brute Force bis zur Länge , dann versuchen Sie alle Schaltkreise in der Reihenfolge ihrer Größe, bis Sie einen finden, der SAT bis zur Länge korrekt berechnet ) benötigt zur Berechnung Zeit SAT und dann eine zusätzliche -Zeit, um eine minimale Schaltung zu finden, wobei die Größe der minimalen Schaltung ist. n ≤ 2 O ( n ) O ( 2 n 2 M ) $n$$n$$\leq 2^{O(n)}$$O(2^n 2^M)$$M$

Gibt es einen deterministischen Algorithmus, der minimale Schaltkreise für SAT mit einer Laufzeit von , wobei die Größe des minimalen Schaltkreises ist? Oder impliziert dies einen Zusammenbruch der Komplexität?$o(2^n 2^M)$$M$

Hier sind zwei Dinge, die, obwohl sie mit meiner Frage zusammenhängen, definitiv nicht das sind , wonach ich frage (was meiner Meinung nach der Grund ist, warum ich die Suche etwas schwierig fand):

• Das Schaltungsminimierungsproblem: Wenn eine Schaltung (oder eine durch ihre Wahrheitstabelle gegebene Funktion oder mehrere andere Varianten) gegeben ist, findet man eine Minimalschaltung die die gleiche Funktion wie berechnet . Selbst wenn die Minimierung der Schaltung einfach wäre, würde dies nicht zwangsläufig bedeuten, dass die obige Aufgabe einfach ist, da selbst die Berechnung der zu minimierenden Funktion (SAT bis zur Länge ) als schwierig angesehen wird, wohingegen bei der Minimierung der Schaltung die Funktion als problematisch angesehen wird minimieren wollen ist kostenlos (es ist als Eingabe gegeben).f C ' C $C$$f$$C'$$C$$n$

• P / p o l $NP$ gegen . Meine Frage ist nicht nur, welche Größe die Minimalschaltung hat; Es geht um die Komplexität, eine minimale Schaltung zu finden, unabhängig von ihrer Größe. Natürlich , wenn wir minimale Schaltungen in Polynomzeit dann berechnen können , N P ⊆ P / p o l y (und in der Tat N P ⊆ P , da dann die Schaltung Familie ist P -Einheitliche), aber das Gegenteil muss nicht wahr sein. Ich glaube, Immerman und Mahaney waren die ersten, die ein Orakel bauten, in dem N P ⊆ P / p o$P/poly$$NP \subseteq P/poly$$NP \subseteq P$$P$ aber P ≠ N P - das heißt, N P hat polynomgroße Schaltkreise, aber sie können nicht in polynomialer Zeit gefunden werden.$NP \subseteq P/poly$$P \neq NP$$NP$

Nehmen wir an, man kann SAT nicht viel schneller ungleichmäßig als gleichförmig lösen. Das heißt, es ist eine TM M SAT in der Zeit T (n) zu lösen, und die kleinste Schaltung für SAT hat eine Größe T '(n) , das ist nicht viel kleiner als T (n) (sagen wir, - Dies gilt insbesondere dann, wenn die kleinste Schaltung zum Lösen von SAT die Größe 2 Ω ( n ) hat, was sehr wohl wahr sein kann.$T(n) = poly(T'(n))$$2^{\Omega(n)}$

Sie könnten also eine "fast" minimale Schaltung erhalten, indem Sie einfach eine kanonische Simulation von M durch eine Schaltung ausführen, und zwar in einer Zeit, die im Grunde genommen optimal ist (so viel Zeit, wie Sie zum Schreiben der Ausgabe benötigen). Vermutlich wird es aus diesem Grund für diese Frage keine Untergrenze geben, die auf einer "netten" Annahme beruht. Ich weiß jedoch nicht, wie ich von "fast minimal" zu "tatsächlich minimal" wechseln soll. Ein Weg, dies zu tun, besteht darin, die Tatsache zu nutzen, dass das Finden der Schaltung bis zur Größe eine Frage in der Polynomhierarchie ist.$S$$T(T(n))$$2^{o(M)}$ .$T(n)=2^{n^{o(1)}}$