Schlagen von Sets mit einer Unterfamilie

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Sei eine Familie von Element-Teilmengen eines endlichen Universums von Objekten. Eine Familie von Element-Teilmengen von mit ist eine - Schlagmenge von wenn für jedes mindestens eine Menge wie z daß .F.dUHkU1k<d(k,d)FVFWHWV

Bei einer Sammlung wie oben beschrieben, die - Schlagen-Set Problem ist es, einen kleinsten zu finden -hitting-Set für .F(k,d)(k,d)HF

Wenn , haben wir das Standard-Schlagsatzproblem, und es gibt viele frühere Ergebnisse dafür. Ich kenne parametrisierte Analysen für den Fall mit und (siehe zum Beispiel Brankovic und Fernau ).k=1k=1d3

Kennt jemand irgendwelche Ergebnisse bezüglich der Komplexität oder der Härte der Approximation des -Hitting-Set-Problems mit:(k,d)

  1. k=1 und ?d=4
  2. d=4 und ?1<k<d
  3. 1k<d und beliebig?d
Vicente Helano
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Antworten:

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Für eine Konstante das Problem der ( k , d ) -schlagenden Menge nicht schwieriger als die ursprüngliche d- treffende Menge (dh k = 1 ), sowohl hinsichtlich der Approximation als auch der parametrisierten Komplexität. Es gibt eine einfache Reduktion von k d -HS auf d -HS. Für eine Instanz ( U , F , d , k ) des ersten Problems erhalten wir eine Instanz von ( U ' , F ' , d ) der zweiten, in der jedes Element enthalten istd(k,d)dk=1kdd(U.,F.,d,k)(U.',F.',d) entspricht einer k- Element-Teilmenge von U , und jede Menge in F ' entspricht aufdie gleiche Weiseeiner Menge in F (dh Abbildung aller k- Element-Teilmengen von U auf Elemente in U ' ). Da k eine Konstante ist, ist die Größe der neuen Instanz eine Polynomfunktion der Größe der ersten Instanz ( O ( n k ) ). Ein Schlagsatz für das erste Problem entspricht einem Schlagsatz gleicher Kardinalität für das zweite Problem und umgekehrt, daher bleibt die Reduktion annähernd erhalten.eU.'kU.F.'F.kU.U.'kÖ(nk)

Parham
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