Bekannteste deterministische Zeitkomplexität untere Schranke für ein natürliches Problem in NP

Diese Antwort auf große ungelöste Probleme in der theoretischen Informatik? Frage besagt, dass es offen ist, wenn ein bestimmtes Problem in NP $\Omega(n^2)$ Zeit erfordert .

Als ich mir die Kommentare unter der Antwort ansah, fragte ich mich:

Was ist, abgesehen von Auffüllen und ähnlichen Tricks, die bekannteste Zeitkomplexität unterer Schranke einer deterministischen RAM-Maschine (oder einer deterministischen Turing-Maschine mit mehreren Bändern) für ein interessantes Problem in NP (das auf natürliche Weise angegeben wird)?

Gibt es ein natürliches Problem in NP, von dem bekannt ist, dass es in quadratisch deterministischer Zeit auf einem vernünftigen Maschinenmodell nicht lösbar ist?

Was ich im Wesentlichen suche, ist ein Beispiel, das den folgenden Anspruch ausschließt:

Jedes natürliche NP-Problem kann in gelöst werden.$O(n^2)$

Kennen wir ein NP-Problem, das dem von Karp aus dem Jahr 1972 oder von Garey und Johnson aus dem Jahr 1979 ähnelt und das eine deterministische Zeit von erfordert ? Oder ist es nach bestem Wissen möglich, dass alle interessanten natürlichen NP-Probleme in O ( n 2 ) deterministischer Zeit gelöst werden können ?$\Omega(n^2)$$O(n^2)$

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Klarstellung, um jegliche Verwirrung zu beseitigen, die sich aus der Nichtübereinstimmung zwischen Untergrenze und Obergrenze ergibt : Ich suche nach einem Problem, von dem wir wissen, dass wir es in nicht lösen können . Wenn ein Problem die stärkere Anforderung erfüllt, dass Ω ( n 2 ) oder ω ( n 2 ) Zeit benötigt wird (für alle Eingänge, die groß genug sind), ist es besser, aber unendlich oft ausreichend.$o(n^2)$$\Omega(n^2)$$\omega(n^2)$

Adachi, Iwata und Kasai in einer 1984 JACM Papier Show durch Reduktion , dass die Katze und -Mice Spiel hat eine n Ω ( k ) niedrige Zeit gebunden. Das Problem ist in P für jedes k . Das Problem wird auf einem gerichteten Graphen dargestellt. Die Bewegungen bestehen aus der Katze und dann einem der abwechselnden Schritte der k Mäuse. Die Mäuse gewinnen, wenn sie auf einem bestimmten Käseknoten landen können, bevor die Katze auf ihnen landet. Die Frage ist, ob die Katze einen erzwungenen Gewinn hat. Tatsächlich handelt es sich um ein vollständiges Problem, daher basiert die Untergrenze tatsächlich auf der Diagonalisierung, die die Zeithierarchie ergibt.$k$$n^{\Omega(k)}$$k$$k$

Grandjean hat gezeigt, dass die untere Grenze der Pippenger-, Paul-, Szemeredi- und Trotter-Zeit für eine SAT-Codierung gilt, obwohl das Ergebnis von Santhanam diese unter Umständen subsumiert.

Zusätzlich zu den in anderen Kommentaren erwähnten Zeit-Raum-Kompromiss-Untergrenzen für SAT gibt es eine Reihe von Arbeiten zu Verzweigungsprogramm-Untergrenzen, die Zeit-Raum-Kompromisse für Turing-Maschinen implizieren. Für Probleme wie FFT, Sortieren oder Berechnen von universellen Hash-Funktionen gibt es quadratische Kompromissuntergrenzen von Borodin-Cook, Abrahamson, Mansour-Nisan-Tiwari, aber diese sind für Funktionen mit vielen Ausgaben. Für Entscheidungsprobleme in P gibt es Zeit-Raum-Kompromiss-Untergrenzen, die für Zeitgrenzen gelten, die aber diese sind schwächer als für SAT bekannt.$O(n \log n)$

Das mir bekannte klassische Ergebnis geht auf Paul, Pippenger, Szemeredi und Trotter (1983) zurück und trennt deterministische von nicht deterministischer linearer Zeit.

Hinzu kommt das bereits erwähnte neuere Ergebnis von Fortnow, Lipton, van Melkebeek und Viglas (2004) . Die Einzigartigkeit dieses Ergebnisses besteht darin, dass es ein Zeit-Raum-Kompromiss ist, der sowohl Raum als auch Zeit begrenzt.

Mir ist jedoch auch ein Ergebnis von Santhanam (2001) bekannt , das eine Untergrenze von ω ( n √ ) beweist. Dieses Ergebnis ist bei zeitlichen Einschränkungen etwas stärker als das oben genannte, bietet jedoch keine Garantie für den Platzbedarf.$\omega (n \sqrt{ \log ^{*} n} )$

Angesichts des oben Gesagten und meiner Kenntnisse auf diesem Gebiet würde ich sagen, dass es ein ziemlich großer Schritt wäre, zu beweisen, dass es ein -vollständiges Problem gibt, das in der deterministischen Zeit von O ( n 2 ) nicht gelöst werden kann . Soweit ich weiß, wird ein solches Ergebnis als höchst nicht trivial angesehen und erfordert wahrscheinlich neue Techniken für die untere Schranke.$\mathbb{NP}$$O(n^{2})$

Hinweis: Mein Wortlaut des Problems im letzten Absatz unterscheidet sich von Ihrer Frage. Ich könnte nicht wählerisch sein (und vielleicht auch nicht viel helfen) und Ihnen sagen, dass es in und somit in N P eine unendliche Anzahl von Problemen gibt, die in O ( n 2 ) deterministischer Zeit nicht durch die deterministische Zeit gelöst werden können Hierarchiesatz.$\mathbb{P}$$\mathbb{NP}$$O(n^{2})$

Bearbeiten: Nach weiteren Überlegungen können Sie in ein Problem finden , das Ihren Anforderungen entspricht:$\mathbb{NP}$

1. Jedes natürliche Problem mit einer Untergrenze von , wobei f ( n ) = Ω ( n 2$DTIME ( f(n) )$ . Nach dem DTIME-Hierarchiesatz benötigt es ω ( n 2 ) Zeit. Ich glaube, es gibt eine Handvoll davon.$f(n) = \Omega ( n^{2} \log n)$$\omega( n^{2} )$
2. Jedes natürliche Problem mit einer Untergrenze von , wobei $NTIME ( f(n) )$ , unter Verwendung der NTIME-Hierarchie. Solche natürlichen Probleme sind mir nicht bekannt.$f(n) = \omega ( n^{2} )$
3. Jedes natürliche Problem mit einer Untergrenze von , wobei f ( n ) = ω ( n 2 / log n ) . Dies ist durch die TIME-SPACE-Trennung gerechtfertigt. Ich glaube das$SPACE ( f(n) )$$f(n) = \omega ( n^{2} / \log n)$

Die obigen unteren Grenzen sollten für die Bitkomplexität des Problems gelten.

Noch einmal, wenn Sie sich auf -vollständige Probleme beschränken, sind mir solche Untergrenzen nicht bekannt.$\mathbb{NP}$

Ein recht naheliegendes Beispiel ist vielleicht die zeitlich begrenzte Komplexität von Kolmogorov :

$k$$f(n) \leq n$$x$$M$$|M| < f(|x|)$$M$$x$$|x|^k$

Dies wirft die gleiche Frage von P = NP nur auf andere Weise auf. Wenn Sie beweisen können, dass es in quadratischer Zeit unlösbar ist oder eine absolute Untergrenze findet, beweisen Sie P! = NP