Hindernisse für die Trennung anderer Komplexitätsklassen

Do Natürliche Proofs , Relativierung und Algebrization beeinflussen auch die Trennung von anderen Komplexitätsklassen wie etc?$L\neq NL\neq NP\neq coNP \neq PH\neq PSPACE$

Zum Beispiel sollte die Barriere für natürliche Beweise jeden Beweis für da sie trennt . Die Beziehung zwischen und scheint jedoch im Vergleich zur Beziehung zwischen und nicht viel mit OWFs zu tun zu haben . Beeinflussen natürliche Beweise die stärkere Trennung von ?$NP\neq CoNP$$P\neq NP$$NP$$CoNP$$P$$NP$$NP\neq CoNP$

Es gibt (mindestens) zwei Bereiche, in denen bestehende Hindernisse wenig zu sagen haben:

ACC-Untergrenzen Es gibt keine bekannte Barriere für den Nachweis, dass TC0 nicht in (ungleichmäßigem) ACC vorliegt - abgesehen von der Möglichkeit, dass die Trennung falsch ist. Es ist unklar, ob die Natural Proofs-Barriere für ACC gelten sollte. Die Frage läuft darauf hinaus: Sollten wir erwarten, dass in ACC pseudozufällige Funktionen implementiert werden können?

LOGSPACE vs NP Wie Fortnow hervorhob , scheinen die vorhandenen Orakelmechanismen für weltraumgebundene Berechnungen keine wirkliche Barriere für LOGSPACE vs NP darzustellen. Meines Wissens kollabieren die bekannten Orakelmodelle, die einen Zusammenbruch von LOGSPACE und NP ergeben, auch ALTERNATING LOGSPACE (dh P) und ALTERNATING POLYTIME (dh PSPACE), daher behandeln diese Orakel alternierende Rechenmodelle inkonsistent mit der Realität (da LOGSPACE nicht gleich ist zu PSPACE).

Das Ergebnis von Razborov und Rudich in ihrem natürlichen Proofpapier ist recht allgemein. Es ist nicht auf vs. N P beschränkt .$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

Ich persönlich mag die Klarheit der Erklärung in Stasys Juknas jüngstem Buch " Boolesche Funktionskomplexität: Fortschritte und Grenzen ":

Definition 18.30. Eine Funktion mit l < n wird als ( s , ϵ ) -sicherer Pseudozufallsgenerator bezeichnet, wenn für eine Schaltung C der Größe s auf n Variablen | P r [ C ( y ) = 1 ] - P r [ C ( G $G : \{0,1\}^l \to \{0,1\}^n$$l < n$$(s,\epsilon)$$C$$s$$n$ wobei y in { 0 , 1 } n und x in { 0 , 1 } l gleichmäßig zufällig ausgewählt wird.

$$|Pr[C(y) = 1] − Pr[C(G(x)) = 1]| < \epsilon,$$ $y$$\{0,1\}^n$$x$$\{0,1\}^l$

Definition 18.31. Sei eine boolesche Funktion. Wir sagen , dass f ist ( s , ε ) -hard wenn für jede Schaltung C der Größe s , | P r [ C ( x ) = f ( x ) ] - $f : {0,1}^n \to {0,1}$$f$$(s,\epsilon)$$C$$s$ wobeixin{0,1}ngleichmäßig zufällig ausgewählt wird.

$$|Pr[C(x) = f(x)] − \frac{1}{2}| < \epsilon,$$ $x$$\{0,1\}^n$

Ein Pseudozufallsfunktionsgenerator ist eine Boolesche Funktion . Indem wir die y- Variablen zufällig einstellen, erhalten wir ihre zufällige Unterfunktion f y ( x ) = f ( x , y ) . Sei h : { 0 , 1 } n → { 0 , $f(x,y) : \{0,1\}^{n+n^2} \to \{0,1\}$$y$$f_y(x) = f(x,y)$ sei eine wirklich zufällige boolesche Funktion. Ein Generator f ( x , y ) ist gegen Γ- Angriffe gesichert, wenn für jede Schaltung C in Γ , | P r [ C ( f y ) = 1 ] - P r [ C ( h ) = 1 ] | < 2 - n 2$h : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$f(x,y)$$\Gamma$$C$$\Gamma$

$$|Pr[C(f_y) = 1] − Pr[C(h) = 1]| < 2^{−n^2}.$$

Ein natürlicher Beweis gegen Λ ist eine Eigenschaft Φ : B n → 0 , 1, die die folgenden drei Bedingungen erfüllt: 1. Nützlichkeit gegen Λ : Φ ( f ) = 1 impliziert f ∉ Λ . 2. Größe: Φ ( f ) = 1 für mindestens 2 - O ( n ) Bruchteil aller 2 2 n Funktionen f $\Gamma$$\Lambda$$\Phi : B_n \to {0,1}$
$\Lambda$$\Phi(f) = 1$$f \notin \Lambda$
$\Phi(f) = 1$$2^{−O(n)}$$2^{2^n}$ . 3. Konstruktivität: Φ Φ ∈, dh als Boolesche Funktion in N = 2 n Variablen betrachtet, gehört die Eigenschaft Φ selbst zur Klasse Γ . $f \in B_n$
$\Phi \in \Gamma$$N = 2^n$$\Phi$$\Gamma$

Satz 18.35. Wenn eine Komplexitätsklasse einen Pseudozufallsfunktionsgenerator enthält, der gegen Γ-Angriffe sicher ist, gibt es keinen Γ- natürlichen Beweis gegen Λ .$\Lambda$$\Gamma$$\Lambda$

Die Frage ist: 1. Glauben wir, wenn es so harte Funktionen gibt? 2. Wie konstruktiv / groß erwarten wir die Eigenschaften in derzeit möglichen Trennungsnachweisen?

Auf der anderen Seite hat Razbarov an verschiedenen Stellen erwähnt, dass er das Ergebnis persönlich als Leitfaden für die Vermeidung und nicht als wesentliches Hindernis für den Nachweis von Untergrenzen ansieht.

Abgesehen von Ryan Williams 'Papieren in den letzten Jahren gab es zwei Papiere, die er erwähnt hat:

1. $\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

2. $\mathsf{NC^1}$$\mathsf{TC^0}$$\mathsf{TC^0}$

Relativierung und Algebraisierung sind etwas kniffliger und hängen davon ab, wie wir die Relaztivierung für diese Klassen definieren. Aber in der Regel einfache Diagonalisierung (eine Diagonalisierung, die für alle Maschinen, die dieselbe Funktion berechnen, dasselbe Gegenbeispiel verwendet, dh das Gegenbeispiel hängt nur davon ab, welche Maschinen in der kleineren Berechnung und nicht von ihrem Code und wie sie berechnen ) kann diese Klassen nicht trennen.

Es ist möglich, nicht einfache Diagonalisierungsfunktionen aus indirekten Diagonalisierungsergebnissen wie Zeit-Raum-Untergrenzen für SAT zu extrahieren.