Linearer Zeitalgorithmus zum Auffinden von verschobenen max

Angenommen, wir erhalten ein Array das nichtnegative ganze Zahlen enthält (nicht unbedingt verschieden).$A[1..n]$

Lassen sein A in der nichtwachsende Reihenfolge sortiert. Wir wollen m = max i ∈ [ n ] B [ i ] + i berechnen $B$$A$

Die naheliegende Lösung besteht darin, sortieren und dann m zu berechnen . Dies ergibt einen Algorithmus, der im schlimmsten Fall in der Zeit O ( n lg n ) läuft .$A$$m$$O(n \lg n)$

Kann man es besser machen? Können wir in linearer Zeit berechnen ?$m$

Meine Hauptfrage ist die oben. Es wäre jedoch interessant, die folgende Verallgemeinerung des Problems zu kennen.

Lassen werden A , sortiert nach irgendeinem Vergleich Oracle ≤ und f eine Funktion von einem Oracle gegeben. Gegeben A und Orakel für ≤ und f , was können wir sagen , über die benötigte Zeit zu berechnen m = max i ∈ [ n ] f ( B [ i ] , i ) ?$B$$A$$\leq$$f$$A$$\leq$$f$$m = \max_{i \in [n]} f(B[i],i)$

Wir können immer noch in O ( n lg n ) Zeit berechnen . Aber können wir für diesen verallgemeinerten Fall eine superlineare Untergrenze beweisen?$m$$O(n \lg n)$

$\leq$$f$

$m$

$A[0..n-1]$$B[0..n-1]$$m = \max_i B[i]+i$

$max = \max_i A[i]$$max \leq m$

$A[j]$$B[k]$$A[j] \leq max - n$

$A[j]$$A[j] \leq max - n$$[max-n, max]$

$A$$[max-n, max]$$m$

$A$$m = \max(A) + 1$$B$$1$

$f(B[i],j)$$i = j$$f(B[i],i)$$i$$\max_i f(B[i],i)$$A$$\Omega(n\log n)$$A[i] = B[j]$$f(A[i],j)$$f$