Betrachten Sie die Sprache L k - d i s t i n c t,
L k - d i s t i n c t : = { w = σ 1 σ 2 . . . σ k | ∀ i ∈ [ k ] : σ i ∈ & Sgr; und ∀ j ≠ i : σ j ≠ σ i }
Diese Sprache ist endlich und daher regelmäßig. Insbesondere wenn | Σ | = n
Was ist der kleinste nicht deterministische endliche Automat, der diese Sprache akzeptiert?
Ich habe derzeit die folgenden losen oberen und unteren Schranken:
Die kleinste NFA, die ich konstruieren kann, hat -Zustände.4 k ( 1 + o ( 1 ) ) ⋅ p o l y l o g ( n )
4k ( 1 + o ( 1 ) )⋅ p o l yl o g( n ) Das folgende Lemma impliziert eine Untergrenze von Zuständen:2 k
2k
Sei L ⊆ Σ ∗
L ⊆ & Sgr;∗ eine reguläre Sprache. Angenommen, es gibt nn Paare P = { ( x i , w i ) | 1 ≤ i ≤ n }P= { ( xich, wich) | 1 ≤ i ≤ n } so dass x i ⋅ w j ∈ Lxich⋅ wj∈L genau dann, wenn i = ji=j . Dann hat jede NFA, die L akzeptiert, mindestens n Zustände.
- Eine weitere (triviale) Untergrenze ist l o g
log ( nk )(nk) , das Protokoll der Größe des kleinsten DFA für die Sprache.
Ich interessiere mich auch für NFAs, die nur einen festen Bruch ( 0 < ϵ < 1
Bearbeiten: Ich habe gerade ein Kopfgeld angefangen, das einen Fehler im Text hatte.
Ich meinte, wir könnten k = polylog (n) annehmen, k = p o l y l o g ( n )
Edit2:
Die Prämie wird bald enden. Wenn sich also jemand dafür interessiert, wie man sie vielleicht leichter verdient, sollten Sie die folgende Sprache in Betracht ziehen:
L ( r , k ) - d i s t i n c t : = { w : w
(dh L ( 1 , k ) - d i s t i n c t = L k - d i s t i n c t
Eine ähnliche Konstruktion wie die in den Kommentaren gibt für .O ( e k ≤ 2 k ≤ l o g ( 1 + r ) ≤ p o l y ( n ) )
Kann das verbessert werden? Was ist die beste Untergrenze, die wir für diese Sprache anzeigen können?
Antworten:
Dies ist keine Antwort, sondern eine Methode, die meines Erachtens einer verbesserten Untergrenze überlassen würde. Kürzen wir das Problem, nachdem Brief gelesen wurde. Bezeichnen wir die Familie von Element Sätze von durch und die Familie der Element Sätze von durch . Bezeichnen Sie die Zustände, die nach dem Lesen der Elemente von (in beliebiger Reihenfolge) durch und die Zustände, aus denen ein akzeptierender Zustand nach dem Lesen der Elemente von (in beliebiger Reihenfolge) durch . Wir brauchen das genau dann, wenna a [ n ] A b = k - a [ n ] B A S A B T B S A ∩ T B & ne; ∅ A ∩ B = ∅a a [n] A b=k−a [n] B A SA B TB SA∩TB≠∅ A∩B=∅ . Dies gibt bereits eine Untergrenze für die erforderliche Anzahl von Zuständen und ich denke, es könnte etwas Nicht-Triviales geben.
Dieses Problem erfordert im Wesentlichen eine Untergrenze für die Anzahl der Eckpunkte eines Hypergraphen, dessen Liniendiagramm (teilweise) bekannt ist. Ähnliche Probleme wurden z. B. von Bollobas untersucht, und es gibt mehrere bekannte Beweismethoden, die nützlich sein können.
Update 2014.03.24: Wenn der obige Hypergraph tatsächlich auf Eckpunkten realisiert werden kann , erhalten wir auch ein nicht deterministisches Kommunikationskomplexitätsprotokoll mit der Länge für die eingestellte Disjunktion mit Eingabesätzen der Größe und (tatsächlich die beiden) Probleme sind gleichwertig). Der Engpass ist natürlich, wenn , dafür konnte ich in Eyal und Buch nur folgendes finden: durch das probabilistische Standardargument bewiesen. Leider konnte ich (noch) nicht genügend untere Schranken für dieses Problem finden, aber wenn das oben Genannte scharf ist, würde es eine untere Schranke gebenss logslogs aa bb a=b=k/2a=b=k/2 N1(DISJa)≤log(2kloge(na))N1(DISJa)≤log(2kloge(na)) Ω(2klogn)Ω(2klogn) Vereinheitlichung der beiden von Ihnen genannten Untergrenzen.
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Einige Arbeiten in Arbeit:
Ich versuche eine Untergrenze von zu beweisen . Hier ist eine Frage, bei der ich mir ziemlich sicher bin, dass sie eine solche Untergrenze ergibt: Finde das Minimum so, dass es eine Funktion gibt , das Disjunktheit bewahrt, dh, dass iff . Ich bin mir ziemlich sicher, dass eine Untergrenze von fast sofort eine Untergrenze von 2 2 k = 4 k für unser Problem bedeuten würde . f ( S ) entspricht ungefähr der Menge von Knoten, zu denen die NFA nach dem Lesen des ersten gelangen kann4k4k tt f:{S⊆[n],|S|=k/2}→{0,1}tf:{S⊆[n],|S|=k/2}→{0,1}t S1∩S2=∅S1∩S2=∅ f(S1)∩f(S2)=∅f(S1)∩f(S2)=∅ t≥2kt≥2k 22k=4k f(S) k / 2 Symbole der Eingabe, wenn der Satz dieser k / 2 Symbole S ist .k/2 k/2
Ich denke, die Lösung für diese Frage könnte bereits bekannt sein, entweder in der Literatur zur Komplexität der Kommunikation (insbesondere in Artikeln, die sich mit dem Disjunktitätsproblem befassen; möglicherweise helfen einige Matrixrangargumente) oder in der Literatur zu Kodierungen (z . B. diese ).
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