Der Graphautomorphismus ist eine Permutation von Graphknoten, die eine Bijektion auf der Kantenmenge induziert . Formal ist es eine Permutation von Knoten wie iff
Definieren Sie eine verletzte Kante für eine Permutation als eine Kante, die einer Nichtkante zugeordnet ist, oder eine Kante, deren Vorbild keine Kante ist.
Eingabe : Ein nicht starrer Graph
Problem : Suchen Sie eine (Nichtidentitäts-) Permutation, die die Anzahl der verletzten Kanten minimiert.
Wie komplex ist es, eine (Nichtidentitäts-) Permutation mit einer minimalen Anzahl von verletzten Kanten zu finden? Ist das Problem für Graphen mit begrenztem Maximalgrad schwierig (unter einer gewissen Komplexitätsannahme)? Ist es zum Beispiel schwierig für kubische Graphen?
Motivation: Das Problem ist eine Lockerung des Graph Automorphism Problems (GA). Das Eingabediagramm kann einen nicht trivialen Automorphismus aufweisen (z. B. ein nicht starres Diagramm). Wie schwierig ist es, einen ungefähren Automorphismus (Schrankpermutation) zu finden?
Bearbeiten 22. April
Ein starrer (asymmetrischer) Graph hat nur einen trivialen Automorphismus. Ein nicht starrer Graph hat eine gewisse (begrenzte) Symmetrie, und ich möchte die Komplexität der Approximation seiner Symmetrie verstehen.
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Antworten:
Ich verstehe die Motivation nicht sehr gut. Lassen Sie mich jedoch eine Antwort auf eine verwandte Frage geben. In der Eigenschaft Test - Framework, erhalten Sie zwei Graphen gegeben ad und Wunsch zwei Fälle zu unterscheiden , basierend auf Parameter :H ϵG H ϵ
Die Komplexitätsmetrik ist die Anzahl der Sonden zu den Adjazenzmatrizen, und das Ziel besteht darin, die beiden Fälle mit hoher Wahrscheinlichkeit unter Verwendung einer sublinearen Anzahl von Sonden zu unterscheiden.
Eldar Fischer und Arie Matsliah ( danke, Arnab ) haben in SODA 2006 ein Papier zu genau diesem Problem. Es stellt zwar keine direkte Verbindung zu Ihrem Problem her, kann jedoch ein Weg zu einer möglichen Problemformulierung sein und sogar nützliche Techniken für Sie bereitstellen.
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Ein Ergebnis von Eugene Luks ("Der Isomorphismus von Graphen mit begrenzter Valenz kann in Polynomzeit getestet werden ") zeigt, dass der Graphisomorphismus (oder Automorphismus) für Graphen mit begrenztem Grad in Polynomzeit liegt. Wenn Sie also nach einem (nicht identitätsbezogenen, wie Jukka betonte) Fast-Automorphismus für nicht starre kubische Graphen suchen, können wir den Luks-Algorithmus verwenden und jeden nicht trivialen Automorphismus in den Graphen übernehmen.
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