In Quantum Computation und Quantum Information von Nielsen und Chuang heißt es, dass viele der Algorithmen, die auf Quanten-Fourier-Transformationen basieren, auf der Coset-Invarianz-Eigenschaft von Fourier-Transformationen beruhen, und dass Invarianzeigenschaften anderer Transformationen möglicherweise zu neuen Algorithmen führen.
Hat es fruchtbare Forschungen zu anderen Transformationen gegeben?
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Sam Burville
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Antworten:
Ich möchte noch einige Verweise auf Scotts Kommentar hinzufügen:
In der Tat sind Clebsch-Gordan-Transformationen (die man sich als Mehrregister-Quanten-Fourier-Transformationen vorstellen kann) ein nützliches Werkzeug für den Entwurf von Quantenalgorithmen für nicht-abelsche Hidden Subgroup Problems (HSPs).
Greg Kuperberg und Oded Regev verwendeten Clebsch-Gordan-Transformationen , um das diedrische HSP in subexponentieller (aber superpolynomieller) Zeit zu lösen. Diese Quantenalgorithmen sind nicht effizient, aber sie haben eine bessere Abfragekomplexität als klassische Algorithmen.
in Polynomzeit. Ich kann dieses Papier empfehlen, weil es ziemlich klar ist.Z2p⋊ Zp
Ich schreibe auch, um hinzuzufügen, dass wir nicht vergessen sollten, dass sowohl Quanten-Fourier-Transformationen als auch Clebsch-Gordan-Transformationen nicht immer unverzichtbar sind, auch wenn sie sehr nützlich sein können.
In Shors Algorithmus (oder sogar in der Quantenphasenschätzung) können die Fouriertransformationen durch Hadamard-Tests ersetzt werden , daher werden nur Hadamard-Gatter anstelle von Fouriertransformationen verwendet. Dieser Trick ist Kitaev zu verdanken und kann hier nachgelesen werden .
Es gibt noch einen weiteren effizienten Algorithmus für die HSP über von Bacon, Childs, Van Dam, der keine Clebsch-Gordan-Transformationen verwendet. Stattdessen verwendet der Algorithmus eine bestimmte Art von leistungsfähigem POVM, die als Pretty Good Measurement bezeichnet wird.Z2p⋊ Zp
Natürlich ist diese Liste wahrscheinlich unvollständig. Ich hoffe, jemand wird auf andere Ergebnisse hinweisen, die noch nicht erwähnt wurden.
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Ich bin mir nicht sicher, ob dies direkt mit Ihrer Frage zusammenhängt, aber als ich sie las, dachte ich an einen Artikel von Peter Høyer, den ich vor einigen Jahren gelesen hatte. Darin zeigt er, wie die populärsten Quantenalgorithmen wie Grovers oder Shors dem gleichen Muster folgen, das er "konjugierte Operatoren" nennt, und er baut neue Algorithmen, die ebenfalls auf demselben Muster basieren.
Wie gesagt, es ist ein paar Jahre her, seit ich es gelesen habe, daher ist meine Beschreibung etwas schlampig, aber hier ist der Link, falls Sie es überprüfen möchten.
http://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.59.3280
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