Lockerung von

Ich habe eine Machbarkeitsfrage, die wie folgt gestellt werden kann. Ich erhalte einen Punkt in einem dimensionalen Vektorraum und möchte den Punkt , der am nächsten kommt und eine Reihe von " Einschränkungen" der Form erfüllt $p$ $d$ $q$ $p$ $\ell_0$

Bei einer Menge kann höchstens eines von ungleich Null sein. $S \in [1\ldots d]$ $\{q_j, j \in S\}$

Der Begriff der Nähe variiert, aber im reicht es aus, einen geeigneten Abstand wie anzunehmen . $\ell_2^2$

Gibt es bekannte Relaxationen für lineare Einschränkungen, die "gut" im Sinne der Bereitstellung eines "nahe genug" -Polytops sind, um die ursprünglichen Einschränkungen zu approximieren, wobei ich auch bei der Definition von "nah genug" ziemlich flexibel bin?

ds.algorithms approximation-algorithms linear-programming Suresh Venkat
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Dürfen die Einschränkungen nicht linear von abhängen ?

p

$p$

Warren Schudy

Können Sie näher erläutern, nach welcher Art von Polytop Sie suchen? Die konvexe Hülle der möglichen Punkte Punkte mit höchstens einer Koordinate ungleich Null ist , daher gibt es keine Hoffnung auf eine gute polyedrische Annäherung der Menge der möglichen Punkte.

q

$q$

R^{d}

$\mathcal{R}^d$

q

$q$

Warren Schudy

Wenn eine im Voraus bekannte Konstante ist , können Sie für jede Abstandskonstante leicht die möglichen Punkte berechnen, die innerhalb von von (nur mit einer einzigen Einschränkung). Für einige Metriken sind die möglichen Punkte eine Vereinigung von Polytopen; für andere müssen Sie sie möglicherweise durch solche annähern oder ein Trennungsorakel verwenden. Schreiben Sie dann lineare Einschränkungen, die codieren, dass innerhalb der konvexen Hülle von diesen liegt.

p

$p$

δ

$\delta$

δ

$\delta$

p

$p$

q

$q$

Warren Schudy

@warren: Die Einschränkungen hängen linear von p ab, aber p selbst ist keine Konstante (vielmehr ist es die Eingabe für das Problem). Die Einschränkungen sind von der obigen Art oder sind lineare Einschränkungen für das q_i.

Suresh Venkat

Antworten:

Ich bin nicht sicher, ob ich das Problem richtig verstehe, aber wie geschrieben steht, scheint das Problem mehrere Vereinfachungen zuzulassen, und insbesondere entspricht das Problem im Fall ℓ ₂² der Scheitelpunktabdeckung mit minimalem Gewicht, wenn ich mich nicht irre.

Ohne Verlust der Allgemeinheit können wir davon ausgehen, dass | S | = 2 in jeder Einschränkung, weil eine Einschränkung mit | S |> 2 entspricht der Menge von Einschränkungen, bei denen S über alle Elementpaare in der ursprünglichen Menge S läuft . Daher können die ℓ _0- Einschränkungen als Graph G mit d Eckpunkten dargestellt werden. Unter Verwendung des Graphen G können die Einschränkungen wie folgt angepasst werden: Die Menge der Eckpunkte, die den Koordinaten i mit q _i = 0 entsprechen, muss eine Eckpunktabdeckung von G sein .
Angenommen, der Abstand ist durch ℓ ₂² oder eine Norm definiert. In diesem Fall kann jeder Punkt q in einen Punkt q ' transformiert werden , der für jedes i , q ' _i ∈ {0, p _i } erfüllt , indem einfach und diese Transformation vergrößert niemals den Abstand vom Punkt p . Insbesondere wenn der Abstand die Summe des koordinatenweisen Abstands ist (wie im Fall des Abstands ²₂² ), ist das Problem genau das gleiche wie bei der Scheitelpunktabdeckung mit minimalem Gewicht. $q_{i}^{'} = {\begin{cases} p_{i}, & q_{i} \neq 0, \\ 0, & q_{i} = 0, \end{cases}$ $q'_i = \begin{cases} p_i, & q_i \ne 0, \\ 0, & q_i = 0, \end{cases}$

Für eine LP-Entspannung des Vertex-Cover-Problems führt eine schnelle Suche beispielsweise zu den Vorlesungsunterlagen (Vorlesung 9) von Uriel Feige .

Tsuyoshi Ito
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Sehr interessant. Ich mag die Beobachtung über | S | nicht mehr als 2 sein müssen

Suresh Venkat

Es gibt eine Sache, die nicht ganz funktioniert. Die Variablen können im Allgemeinen beliebig sein (nicht zwischen Null und Eins). Sie können die LP-Einschränkungen für die "auf Null gesetzten Variablen müssen eine Scheitelpunktabdeckung bilden" also nicht wirklich codieren. Dies wird zu einem Problem (das ich hätte erwähnen sollen), da es andere (lineare) Einschränkungen für die Koordinaten gibt, die ebenfalls berücksichtigt werden müssen.

Suresh Venkat

@Suresh: Wenn Sie wirklich denken, dass Sie es erwähnt haben, können Sie die Frage jederzeit ändern.

Tsuyoshi Ito

@Suresh: Ich wollte sagen "Wenn du wirklich denkst, dass du es hätte erwähnen sollen ..."

Tsuyoshi Ito