Die Komplexität der gebietsrechtlichen Hamiltonianer

Ich habe kürzlich darüber nachgedacht, eine physikalische Frage in Quanten-CS zu "importieren":

Der Begriff des Gebietsgesetzphänomens in Hamiltonschen Systemen steht normalerweise für einen lokalen Hamiltonianer auf einem Gitter, dessen Grundzustand eine Eigenschaft aufweist, bei der die Verschränkung einer geschlossenen Region proportional zur Oberfläche der Region ist und nicht zu ihrem Volumen (wie es der Fall wäre) für einen allgemeinen Zustand). Eine berühmte Vermutung ist, ob alle Hamiltonianer mit konstantem Spalt diese flächenrechtliche Eigenschaft aufweisen. Für eindimensionale Systeme wurde diese Frage von Hastings positiv beantwortet (arXiv: 0705.2024).

Der Zusammenhang zwischen solchen Systemen und der Komplexitätstheorie ist jedoch sehr vage: Während Hastings 'Ergebnis impliziert, dass 1-D-Gebietsgesetze einhaltende Systeme klassisch simuliert werden können, ist dies für allgemeine Systeme unbekannt. Meine Frage ist also, ob sich die Suche nach einer Lösung der Vermutung des Gebietsrechts lohnt. Oder kontrovers ausgedrückt, kann man sich einen QMA-vollständigen lokalen Hamiltonianer einfallen lassen, der auch die Gesetze des Gebiets einhält. Ein kleiner Blick auf die bekannten QMA-vollständigen lokalen Hamiltonianer, die im Wesentlichen alle auf Kitaevs Quanten-Cook-Levin-Theorem basieren, zeigt, dass diese Hamiltonianer nicht die Eigenschaft des Gebietsgesetzes besitzen.

Man könnte das folgende etwas alberne Beispiel eines 2D-Systems betrachten, das einem QMA-vollständigen Gebietsgesetz folgt. Nehmen Sie ein 2d-System, von dem eine Reihe einem der bekannten QMA-vollständigen 1d-Hamiltonianer entspricht (siehe Aharonov, Gottesman, Irani, Kempe), und alle anderen Reihen befinden sich in einem Produktzustand. Dies folgt dann einem Flächengesetz (ziehen Sie in Betracht, ein Rechteck zu zeichnen, das die gegebene Zeile mit k Zeilen und l Spalten enthält; die Verschränkung ist durch eine konstante Zeit l begrenzt und die Fläche ist ebenfalls mindestens gleich l).

Dies bedeutet jedoch meiner Meinung nach sicherlich nicht, dass der Nachweis eines Gebietsgesetzes in 2d unter dem Gesichtspunkt der Komplexität sinnlos wäre. Ich denke vielmehr, dass dies bedeutet, dass wir nicht nur das Flächengesetz für die Verschränkungsentropie berücksichtigen müssen, sondern auch andere Verschränkungseigenschaften. Eine solche Eigenschaft wäre ein PEPS mit einer Polynombindungsdimension. Der Beweis, dass es in 2d ein Flächengesetz gibt, bedeutet nicht, dass ein PEPS eine polynomielle Bindungsdimension aufweist. Die Implikation in 1d beruht auf der Tatsache, dass wir das System über verschiedene Bindungen hinweg schneiden, über jede Bindung hinweg auf einen polynomiellen Schmidt-Rang abschneiden und den Fehler begrenzen können. Dieses Verfahren funktioniert in 2d nicht. Der Nachweis der Existenz eines PEPS für ein System mit Lücken in 2d wäre also ein nächster Schritt. Mein Gefühl ist, dass der Nachweis eines Gebietsgesetzes in 2d ein guter erster Schritt dazu wäre.

Tatsächlich ist in der Physik der kondensierten Materie gut untersucht, dass es lückenlose 2d Hamiltonianer gibt, die einem Gebietsgesetz gehorchen. Während in 1d die Systeme, die durch die konforme Feldtheorie beschrieben werden, ein logarithmisches Verhalten der Verschränkungsentropie aufweisen, zeigen in 2d viele kritische Systeme ein Flächengesetz und dann zeigen die Protokolle ein subleadendes Verhalten, sodass die Entropie gleich L + const ist * log (L) + ... Das heißt, die interessanten, universellen Begriffe in der Entropie sind nicht die führenden Begriffe, sondern die Unterbegriffe in solchen 2d-Theorien.

Vielen Dank für die detaillierte und aufschlussreiche Antwort und die Verschärfung der Unterscheidung zwischen der Flächengesetz- und der Polynombindungsdimension.