Wann lässt eine Grafik eine Ausrichtung zu, in der es höchstens einen Schritt gibt?

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Betrachten Sie das folgende Problem:

Eingabe: ein einfacher (ungerichteter) Graph .G=(V,E)

Frage: Gibt es eine Orientierung von die die Eigenschaft erfüllt, dass es für jedes s , t V höchstens einen (gerichteten) s - t Spaziergang gibt?Gs,tVst

Dies kann äquivalent ausgedrückt werden als:

Eingabe: ein einfacher (ungerichteter) Graph .G=(V,E)

Frage: Gibt es eine azyklische Orientierung von die die Eigenschaft erfüllt, dass es für jedes s , t V höchstens einen (gerichteten) s - t Pfad gibt?Gs,tVst

Was ist die Klasse von Graphen, für die die Antwort "Ja" lautet? Kann dieses Problem in Polynomzeit gelöst werden?


Einige Beobachtungen:

  1. Wenn der Graph zweiteilig ist, lautet die Antwort "Ja".
  2. Wenn der Graph ein Dreieck hat, lautet die Antwort "Nein".

Die erste Beobachtung folgt, indem die Kanten von einer Trennwand zur anderen ausgerichtet werden. Die zweite Beobachtung ist leicht zu überprüfen. Dies führte mich zu zwei falschen Vermutungen:

  1. Die Antwort lautet genau dann "Ja", wenn der Graph zweiteilig ist. (Gegenbeispiel: der 5-Zyklus)
  2. Die Antwort lautet "Ja", wenn und nur wenn der Graph dreieckfrei ist (Gegenbeispiel: das kartesische Produkt einer Kante mit dem 5-Zyklus)
Austin Buchanan
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Antworten:

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Es ist NP-vollständig durch eine Reduzierung von ungleich 3SAT. Um dies zu sehen, beobachten Sie das

  • 4
  • PP5P5P

vkk444444-Zyklus, so dass diese Geräte nur in der Ausrichtung ihrer Kanten und nicht durch die Existenz längerer Pfade miteinander interagieren können.

4PP55

stst

David Eppstein
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Vielen Dank! Ich war schon einmal auf das Multitree-Wiki gestoßen. Es scheint, dass sie fast das sind, was ich will. Ein Unterschied ist, dass ich die azyklische Ausrichtung des Dreiecks nicht möchte, aber dies ist ein Mehrbaum.
Austin Buchanan
Ich möchte das zitieren. Möchten Sie lieber, dass ich nach Sureshs Antwort hier oder auf andere Weise zitiere ?
Austin Buchanan
Die Methode in Sureshs Antwort ist in Ordnung. Übrigens zu Multitrees: Die azyklische Ordnung eines Dreiecks ist in Ordnung, wenn Sie es als binäre Beziehung einer N-freien Teilordnung betrachten, aber nicht für die DAG-Version der Definition, da die DAGs transitiv sein sollen reduziert und das azyklische Dreieck nicht. Ich denke also, dass Multitrees (als DAGs) wirklich dasselbe sind wie in Ihrer Frage.
David Eppstein