Was ist über diese TSP-Variante bekannt?

Diese Frage wurde bereits in der Informatik Stapel von Exchange geschrieben hier .

Stellen Sie sich vor, Sie sind ein sehr erfolgreicher Reiseverkäufer mit Kunden im ganzen Land. Um den Versand zu beschleunigen, haben Sie eine Flotte von Einweg-Lieferdrohnen mit einer Reichweite von jeweils 50 Kilometern entwickelt. Mit dieser Innovation müssen Sie nicht in jede Stadt reisen, um Ihre Waren auszuliefern, sondern müssen Ihren Hubschrauber nur innerhalb von 50 km fliegen und die Drohnen den Job beenden lassen.

Problem: Wie soll Ihr Hubschrauber fliegen, um die Reisedistanz zu minimieren?

Genauer gesagt, wenn eine reelle Zahl und N gegeben sind, werden die Punkte { p 1 , p 2 , ... , p N } in der euklidischen Ebene unterschieden. Welcher Pfad, der eine geschlossene Scheibe mit dem Radius R um jeden Punkt schneidet, minimiert die Gesamtbogenlänge? Der Pfad muss nicht geschlossen sein und kann die Datenträger in beliebiger Reihenfolge kreuzen.$R>0$$N$$\{p_1, p_2, \ldots, p_N\}$$R$

Offensichtlich reduziert sich dieses Problem auf TSP als , so dass ich keinen effizienten exakten Algorithmus erwarte. Ich würde mich freuen zu wissen, wie dieses Problem in der Literatur heißt und ob effiziente Approximationsalgorithmen bekannt sind.$R \to 0$

Dies ist ein Sonderfall des Problems "Travelling Salesman with Neighborhoods" (TSPN). In der allgemeinen Version müssen die Nachbarschaften nicht alle gleich sein.

Ein Artikel von Dumitrescu und Mitchell, Approximationsalgorithmen für TSP mit Nachbarschaften im Flugzeug , geht auf Ihre Frage ein. Sie geben einen Konstantfaktor-Approximationsalgorithmus für ein etwas allgemeineres Problem (Fall 1) und ein PTAS an, wenn die Nachbarschaften disjunkte Bälle derselben Größe sind (Fall 2).

Als Nebenbemerkung denke ich, dass Mitchell eine Menge Arbeit an geometrischen TSP-Varianten geleistet hat. Vielleicht möchten Sie sich seine anderen Artikel ansehen.

Eine relevante TSP-Version ist "Group TSP". In diesem Problem werden die "Städte" in Gruppen unterteilt. Ziel ist es, eine Tour zu finden, die jede Gruppe mindestens einmal besucht.

Dies wurde auch im Flugzeug untersucht, was Ihrer Beschreibung näher kommt. Hier ist jede Gruppe eine geschlossene Region des Flugzeugs und es reicht aus, einen Punkt in der Region zu besuchen, um sie abzudecken. Siehe z. B. die Veröffentlichung "Approximation Algorithms for Euclidean Group TSP" von Elbassioni et al. in ICALP 2005.