Ist MLTT effektiv pCiC ohne Prop?

Ist die Martin-Löf-Typentheorie im Grunde die prädikative Berechnung induktiver Konstruktionen ohne Impredikativ ?$\mathtt{Prop}$

Wenn sie eng miteinander verwandt sind, aber mehr Unterschiede aufweisen als nur , was sind diese Unterschiede?$\mathtt{Prop}$

Die kurze Antwort lautet: Ja, MLTT kann vernünftigerweise ohne Vorbehalt mit CIC gleichgesetzt werden Prop.

Das technische Hauptproblem ist, dass es Dutzende von Varianten gibt, wenn man über die Martin-Löf-Typentheorie spricht, und vielleicht überraschender, wenn man über CIC spricht. Wenn man zum Beispiel die in Benjamin Werners These definierte Version von CIC nimmt, macht es nicht einmal Sinn, sie zu entfernen Prop, da man weder eines Setnoch Universen von hat Type.

Die Hauptvarianten, die man in einer dieser Theorien berücksichtigen kann, sind:

1. Universen : Wie viele und wie sind sie definiert (Palmgren, Über Universen in der Typentheorie , diskutiert viele inäquivalente Variationen) und ob Universumspolymorphismus zugelassen ist oder nicht .

2. Welche induktiven Typen / Familien : Agda lässt induktiv-rekursive Typen zu, aber es gibt viel mehr weltliche Variationen, je nachdem, wie "groß" die Typen in den Konstruktoren und Eliminatoren zulässig sind, wie Parameter gegen Indizes behandelt werden usw.

3. Injektivität von Typkonstruktoren . Dies führt zu einem System, das nicht mit EM in Agda übereinstimmt. Natürlich hat Epigramm eine extremere "Beobachtungstypentheorie", aber dies kann insgesamt als etwas anderes angesehen werden.

4. Axiom K : Dies ist bei bestimmten Versionen des abhängigen Mustervergleichs kostenlos.

5. Intentional vs Extensional : Dies ist ein großer Unterschied, bei dem im Wesentlichen eine neue Konvertierungsregel in den Erweiterungssystemen hinzugefügt wird Das macht die Typprüfung unentscheidbar (aber viel leistungsfähiger!). Martin-Löf selbst scheint beide Systemtypen in Betracht gezogen zu haben.

   $$\frac{\Gamma\vdash t:\mathrm{Id}_{\mathrm{Type}}\ A\ B }{\Gamma\vdash A\ =\ B}$$

6. Das Vorhandensein von koinduktiven Typen und den damit verbundenen Eliminierungsprinzipien.

Alle oben genannten Variationen (außer OTT) wurden in der Literatur berücksichtigt und mit dem Namen "Martin-Löf-Typentheorie" oder "Kalkül induktiver Konstruktionen" in Verbindung gebracht, hauptsächlich aufgrund ihrer Assoziation mit dem Agda-System bzw. dem Coq-System.

Die lange Antwort lautet also, dass es keinen Konsens darüber gibt, wie genau eines dieser Systeme definiert ist.