1) Ist es möglich, eine sparsame Reduktion von einem # P-vollständigen Problem #A zu einem Zählproblem #B zu haben, wenn (die Entscheidungsversion) A NP-vollständig ist und das B in P ist?
Kann es zum Beispiel eine sparsame Reduktion von #SAT auf #B geben, wenn B in P ist?
2) Wenn B in P ist, welche verschiedenen Möglichkeiten gibt es für die Komplexität von #B?
Wenn Sie auf sparsamen Reduktionen bestehen (bei denen die Anzahl der Lösungen erhalten bleibt), können Sie eine solche Reduktion nur dann erzielen, wenn P = NP ist, weil der Entscheidungsalgorithmus für die Nicht-Leerheit von Lösungen für B Ihnen einen Entscheidungsalgorithmus für die Nicht-Leerheit von Lösungen für liefert A. Wenn Sie andererseits andere Arten von Ermäßigungen zulassen, können Sie einen solchen Fall haben. Valiant hat zum Beispiel gezeigt, dass #SAT sich auf das Problem des Zählens perfekter Übereinstimmungen in einem zweigliedrigen Graphen reduziert: Die Reduktion beginnt mit einer CNF-Formel und baut einen zweigliedrigen Graphen G auf, dessen Anzahl perfekter Übereinstimmungen mod 2 8 m + 1 4 m beträgt mal die Anzahl der erfüllenden Aufgaben von F , wobei ist die Anzahl der Vorkommen in literal F . Beachten Sie, dass dies keine sparsame Reduktion ist, sondern eine Reduktion, da Sie die Anzahl der erfüllenden Zuordnungen von F aus der Anzahl der perfekten Übereinstimmungen von G ermitteln können .
Eine klare Darstellung finden Sie in Kapitel 18 in Papadimitrious Buch "Computational Complexity".
Die Antwort auf die Frage 2 lautet, dass die Komplexität des Zählproblems #B grundsätzlich beliebig sein kann (und nicht unbedingt berechenbar ist). Genauer gesagt hat die Einschränkung, dass sich die Entscheidungsversion in P befindet, keine Auswirkung auf die Komplexität der Zählversion. Dies liegt daran, dass Sie jedem Beziehungsproblem eine Dummy-Lösung hinzufügen können, sodass die Entscheidungsversion trivial wird (die Antwort lautet immer Ja), ohne die Komplexität der Zählversion zu ändern.