Beibehalten des Werts eines Polynoms über eine dynamisch aktualisierte Eingabe

Sei ein Polynom über einem festen endlichen Feld. Angenommen, wir erhalten den Wert von P für einen Vektor y ∈ { 0 , 1 } n und den Vektor y .$P(x_1, x_2, \ldots, x_n)$$P$$y \in \{0,1\}^n$$y$

Wir wollen nun den Wert von auf einem Vektor y ' ∈ { 0 , 1 } n so berechnen , dass sich y und y ' an genau einer Position unterscheiden (mit anderen Worten, wir drehen genau ein Bit in y ). Was sind die räumlichen und zeitlichen Kompromisse für dieses Problem?$P$$y' \in \{0,1\}^n$$y$$y'$$y$

Wenn beispielsweise die Anzahl der Monome in P ist , können wir die Koeffizienten und die Werte aller Monome in P speichern . Wenn y i umgedreht wird, legen wir den Wert jedes Monoms, das y i enthält, und dann den Wert von P ( y ) unter Verwendung der gespeicherten Informationen fest. Insgesamt brauchen wir O ( r ) Zeit und Raum.$r$$P$$P$$y_i$$y_i$$P(y)$$O(r)$

(Ich sage nichts darüber, wie wir die Monome, die zu diesem Zweck identifizieren . Sie können eine vernünftige Darstellung von P wählen. In dem Beispiel gehe ich davon aus, dass wir für jedes i eine Liste von Monomen speichern, die y i enthalten .)$y_i$$P$$y_i$$i$

Gibt es etwas Besseres?

$P$$i$$y$$y_i$$s$$O(s)$

Es ist einfach, Ihren Ansatz zum Speichern von Monomen so zu ändern, dass jede Aktualisierung nur proportional zur Anzahl der geänderten Monome dauert: Aktualisieren Sie einfach den gesamten Polynomwert, indem Sie den neuen Wert addieren und den alten Wert für jedes geänderte Monom subtrahieren.

$P$$P$$k$$O(k\log N)$$N$