Uneinheitliche Version für die gesamte Polynomhierarchie

Die ungleichmäßigen Versionen von P, NP und coNP sind P / Poly, NP / Poly und coNP / Poly. Ebenso können wir für jede Ebene in der PH eine ungleichmäßige Version definieren.

Zum Beispiel: / poly von Problemen der Form besteht $\Sigma_2$ , wobei C eine Schaltung mit Polynomgröße ist, die abhängig von der Länge der Eingabezeichenfolge variieren kann, und auch Polynomlängen in . $\{x : \exists y \forall z \; C(x,y,z)\}$ $x$ $y,z$ $x$

Wenn wir dies für alle PH-Stufen tun, erhalten wir eine ungleichmäßige Version von PH / Poly.

FRAGEN: Ist etwas über diese Hierarchie bekannt? Bricht es zusammen? Oder gibt es dafür einen anderen Namen in der Literatur?

cc.complexity-theory complexity-classes polynomial-hierarchy Danny Nguyen
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Antworten:

Na klar, wir wissen Dinge. Ich denke, das ist eine ziemlich normale Nomenklatur dafür. Diese Hierarchie zusammenbricht , wenn und nur wenn der Fall ist, Übung: $\mathsf{PH}$

Ändern Sie für eine Richtung den Beweis von Karp-Lipton, um zu zeigen, dass, wenn ist, zusammenbricht, und beobachten Sie, dass sich dieses Ergebnis relativiert $\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{coNP}/poly$ $\mathsf{PH}$
Für die andere Richtung siehe die Kommentare von Kaveh unten.

Joshua Grochow
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P H

$\mathsf{PH}$

n u P H

$\mathsf{nuPH}$

@ Daniel, ich denke, Sie können die Gleichmäßigkeit der Quantifizierer in der Schaltung beseitigen, also ja, wenn PH sie kollabiert, tut dies auch nuPH.

Kaveh

@ Kaveh: Wie? Ich mag langsam sein, aber ich sehe es noch nicht ...

Joshua Grochow

\in

$\in$

Σ_{k}^{P}

$\Sigma^P_k$

χ_{L} (x) = χ_{L^{'}} (x, f (| x |))

$\chi_L(x) = \chi_{L'}(x,f(|x|))$

\in

$\in$

Σ_{k}^{P}

$\Sigma^P_k$

P H / p o l y

$\mathsf{PH/poly}$