Sei ein Alphabet der Größe 2 und betrachte minimale DFAs, deren Größe durch höchstens m begrenzt ist . Es sei f ( m ) die Anzahl verschiedener solcher minimaler DFAs.
Können wir eine geschlossene Formel für ?
In Anbetracht dessen für Die Übergangsfunktion eines DFA mit einer Größe von höchstens m ist ein Graph. Da der Knotengrad durch 2 begrenzt ist , gibt es für jeden Knoten m 2 Möglichkeiten von Bogenpaaren (wie in den Kommentaren vorgeschlagen). In diesem Diagramm gibt es höchstens m mögliche Auswahlmöglichkeiten für den Anfangszustand und höchstens 2 m mögliche Auswahlmöglichkeiten für Endzustandsmengen. Somit ist die maximale Anzahl von DFAs der Größe höchstens m ist f ( m ) ≤ m 2 m ⋅ m ⋅ 2 m .
Wir können auf ein beliebiges Alphabet verallgemeinern : Die Grenze wird zu f ( m ) ≤ 2 m ⋅ m | Σ | m + 1 .
Aber wir haben hier beliebige DFAs begrenzt, und ich bin daran interessiert, die Anzahl der minimalen DFAs zu begrenzen. Es sieht also so aus, als ob diese Grenze enger sein könnte ... Hat jemand eine bessere Schätzung?
Ich würde mich, wenn möglich, über einige Artikel zu diesem Problem oder einen Beweis / ein Gegenbeispiel freuen.
Antworten:
Nach Ishigami Y., Tani S. (1993) Die VC-Dimensionen endlicher Automaten mit n Zuständen, http://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-57370-4_58 , die VC-Dimension von Die Konzeptklasse von Zustands-DFAs über einem Alphabet der Größe k ist d = d ( n , k ) : = ( k - 1 + o ( 1 ) ) n log 2 n . Daraus folgt, dass es auf einem k mindestens 2 d verschiedene n- Zustandsautomaten gibtn k
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(NB: Die in der akzeptierten Antwort angegebene Obergrenze ist besser oder gleich der hier angegebenen.)
In diesem Artikel wird eine Obergrenze vorgeschlagen, die in einem der vorherigen Kommentare angegeben ist: „ Zur Anzahl unterschiedlicher Sprachen, die von endlichen Automaten mit n Zuständen akzeptiert werden “ (2002, M. Domaratzki, D. Kisman, J. Shallit) .
In diesem Papier:
Wir interessieren uns für die Obergrenze für dieg|Σ|(m) m m
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