Noethers Normalisierungslemma für endliche Felder

Meine Frage bezieht sich auf die Sätze 4.1 und 4.2 in "Geometric Complexity Theory V" .

Der erste Satz besagt, dass es einen EXPSPACE- Algorithmus zum Konstruieren von hsop für (siehe Definitionen in der Arbeit) auf (tatsächlich auf einem beliebigen algebraisch geschlossenen Feld des Merkmals Null) ).$\Delta[\text{det},m]$$\mathbb{C}$

Der zweite liefert einen probabilistischen mehrzeitigen Monte-Carlo-Algorithmus für dasselbe Problem.

Können diese Ergebnisse auf einen algebraischen Abschluss eines endlichen Feldes ausgedehnt werden?

Soweit ich weiß, ist dies möglich, da Hilberts Nullstellensatz-Problem auch in diesem Fall zu PSPACE gehört . Der Satz von Heintz und Schnorr gilt auch für Felder beliebiger Eigenschaften ...

Ich glaube die Antwort ist ja. Der einzige Teil, den ich nicht sorgfältig geprüft habe, ist:

• Das Argument in der Mitte von Satz 4.2 unter Verwendung der komplexen Topologie und die Tatsache, dass der Zariski-Abschluss = komplexer Abschluss für Zariski-konstruierbare Mengen über . Dieser Teil des Arguments sollte durch die algebraische Standardtechnik der Verwendung von Laurent-Reihen ersetzt werden können, obwohl ich dies, wie gesagt, nicht sorgfältig geprüft habe.$\mathbb{C}$

In Satz 4.1 und 4.2 scheint das einzige andere Null, das wirklich verwendet wird, der Teil von Satz 4.1 zu sein (unter der Annahme von GRH). Dies verwendet Koirans Ergebnis, dass Hilberts Nullstellensatz unter der Annahme von GRH in . Koirans Ergebnis beruht ziemlich stark auf der charakteristischen Null (da es die Lösungen des Gleichungssystems modulo viele verschiedene Primzahlen berücksichtigt ). Dies ist nicht erforderlich, um den Teil von Satz 4.1 , jedoch nur den Teil (unter der Annahme von GRH).$\mathsf{EXPH}$$\mathsf{PH}$$p$$\mathsf{EXPSPACE}$$\mathsf{EXPH}$