Nicht vergleichbare natürliche Zahlen

Das "Spiel mit der größten Zahl" fordert zwei Spieler auf, eine Zahl heimlich aufzuschreiben, und der Gewinner ist die Person, die die größere Zahl aufgeschrieben hat. Das Spiel erlaubt es den Spielern normalerweise, Funktionen aufzuschreiben, die zu einem bestimmten Zeitpunkt ausgewertet werden. Daher wäre es auch akzeptabel , $2^{2^{2^{2}}}$ aufzuschreiben.

Der Wert der Busy Beaver-Funktion $BB(x)$ kann nicht für große Werte von $x$ bestimmt werden (in ZFC oder einem vernünftigen konsistenten axiomatischen System) . Insbesondere kann $BB(10^4)$ gemäß dieser Veröffentlichung nicht bestimmt werden . Dies bedeutet jedoch nicht, dass wir die Werte der Busy Beaver-Funktion nicht vergleichen können. Zum Beispiel können wir beweisen, dass $BB(x)$ streng monoton ist .

Nehmen wir an, wir erlauben den Spielern, Ausdrücke mit Kompositionen aus Elementarfunktionen, natürlichen Zahlen und der Busy Beaver-Funktion aufzuschreiben. Gibt es zwei Ausdrücke, die die beiden Spieler aufschreiben können, damit wir in ZFC beweisen können, dass es unmöglich ist, den Gewinner in ZFC zu bestimmen (vorausgesetzt, ZFC ist konsistent)?

EDIT: Ursprünglich lautete diese Frage: "... beliebige Kombinationen von berechenbaren Funktionen, natürlichen Zahlen und der Busy Beaver-Funktion."

Wenn wir $f(x)$ den Wert $3$ annehmen lassen, wenn $BB(x) >$ [etwas gottlos Großes und Unaussprechliches auf dieser Website] und $7$ wenn dies nicht der Fall ist, dann sind $f(10^4)$ und $6$ unvergleichlich.

Das befriedigt mich nicht, vor allem, weil $f$ für jemanden in diesem Spiel keine vernünftige Funktion ist. Ich verstehe jedoch nicht, wie ich meine Intuition dazu ausdrücken soll, deshalb habe ich die Frage eingeschränkt, um stückweise Funktionen zu vermeiden.

$B$$\Phi$$\iff$ $\Phi$$B$$\neg$$\iff$ $\Phi$

$\Phi$$B(m_i)=n_i$$1\le i\le k$

$m_i$$n_i$