Gibt es Beweise für die Unentscheidbarkeit des Halteproblems, die nicht von der Selbstreferenzierung oder Diagonalisierung abhängen?

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Dies ist eine Frage im Zusammenhang mit diesem . Ich habe es nach vielen Diskussionen noch einmal in eine viel einfachere Form gebracht, dass es sich wie eine ganz andere Frage anfühlte.

Der klassische Beweis für die Unentscheidbarkeit des Halteproblems hängt davon ab, einen Widerspruch aufzuzeigen, wenn versucht wird, einen hypothetischen HALT-Entscheider auf sich selbst anzuwenden. Ich denke , dass dies bezeichnet nur die Unmöglichkeit eines STOPP mit Entscheiders , dass entscheidet , ob sich aufhalten wird oder nicht, aber geben keine Auskunft über die über die Entscheidbarkeit des Anhaltens von irgendwelchen anderen Fällen.

Die Frage ist also

Gibt es einen Beweis dafür, dass das Stopp-Problem unentscheidbar ist, der nicht davon abhängt, zu zeigen, dass HALT sich nicht selbst entscheiden kann und auch nicht vom Argument der Diagonalisierung abhängt?

Kleine Änderung: Ich werde mich der ursprünglichen Formulierung der Frage widmen, in der ein Beweis verlangt wird, der überhaupt nicht von der Diagonalisierung abhängt (anstatt nur zu verlangen, dass er nicht von der Diagonalisierung abhängt, die von HALT abhängt).

M. Alaggan
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Suchen Sie eine, die nicht von einem Diagonalisierungsargument abhängt, oder eine, die nicht direkt mit HALT diagonalisiert? Ich bin mir nicht sicher, ob der Beweis, den Bjørn vorschlägt, den ersteren erfüllt.
Mark Reitblatt
@Mark: Ich bin mir in der Tat nicht sicher. Wenn das Diagonalisierungsargument nicht der Selbstreferenzierung entspricht, sondern einem anderen Aspekt wie einer Kardinalitätsinkongruenz, dann würde ich in der Tat hoffen, dass es einen Einblick geben würde, warum die Beendigung von HALT (Q) (wobei Q! = HALT) unentscheidbar ist .
M. Alaggan
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In diesem Fall kann ich ein einfacheres Argument anführen. Beginnen Sie mit der Beobachtung, dass es nicht entscheidbare Probleme gibt (einfaches Kardinalitätsargument), und außerdem, dass es ein nicht entscheidbares Problem P gibt, bei dem ein TM M seine Mitglieder erkennt (aber möglicherweise nicht bei Nichtmitgliedern endet). Wenn Sie nun HALT (M) lösen, erhalten Sie eine Entscheidung für P. Wir prüfen zunächst, ob M auf x anhält. Wenn dies der Fall ist, führen wir es aus und geben das Gleiche wie M zurück. Andernfalls lehnen wir es ab, da M bei jedem Mitglied von P anhält. Dies ist nun ein Widerspruch, da wir angenommen haben, dass P eine Sprache ohne Entscheider ist.
Mark Reitblatt
Dieses Argument ist tatsächlich ein Beweis dafür, dass HALT RE-complete ist.
Mark Reitblatt
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Hab dich. Wenn alle TMs Entscheider waren, ist HALT trivial. Wenn halt nicht trivial ist (es gibt Erkenner), führt das Vorhandensein eines nicht trivialen HALT (kontrapositiv) dazu, dass die Entscheidung des Erkenners TM getroffen wird, was bedeutet, dass HALT ein trivialer Widerspruch ist. Ein solcher HALT kann also nicht für alle Erkenner existieren. Das ist großartig, danke für deinen wunderbaren Kommentar; Vielleicht möchten Sie es als Antwort erneut posten :)
M. Alaggan

Antworten:

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Ja, es gibt solche Beweise in der Berechenbarkeitstheorie (auch Rekursionstheorie genannt).

Sie können zunächst zeigen , dass das Halteproblem (die Menge ) verwendet werden kann , um einen Satz zu berechnen , das ist 1-generic Bedeutung , dass in gewissem Sinne jede Tatsache über durch eine endliche entschieden wird Präfix von . Dann ist es leicht zu beweisen, dass eine solche Menge nicht berechenbar (dh entscheidbar) ist. G N 0 1 G G G0GNΣ10GGG

Wir könnten hier 1- generisch durch 1-zufällig ersetzen , dh Martin-Löf-zufällig , für den gleichen Effekt. Dies verwendet den Jockusch-Soare-Satz mit niedriger Basis .

(Warnung: Man könnte erwägen, nur zu zeigen, dass Chaitins berechnet , was 1-zufällig ist, aber hier müssen wir vorsichtig sein, ob der Beweis, dass 1-zufällig ist, darauf beruht, dass das Stopp-Problem unentscheidbar ist! Deshalb ist es sicherer, nur den Satz der niedrigen Basis zu verwenden).Ω Ω0ΩΩ

Bjørn Kjos-Hanssen
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Sehr interessant! Können Sie mir eine Referenz oder eine Reihe von Stichwörtern zur Verfügung stellen, nach denen ich suchen kann, um sie besser zu verstehen? Danke vielmals!
M. Alaggan
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@M. Alaggan: Die beste Referenz könnte das kürzlich erschienene Buch von André Nies, Computability and Randomness , Oxford Logic Guides, Oxford University Press, 2009, sein. Es gibt auch einen Wikipedia-Artikel über das Low-Basis-Theorem und einen Scholarpedia-Artikel über Algorithmic Randomness: scholarpedia.org / article / Algorithmic_randomness
Bjørn Kjos-Hanssen
@M. Alaggan, es liegt an dir, aber die Stimmen legen nahe, dass dies die akzeptierte Antwort sein sollte.
Mohammad Al-Turkistany
Ich habe nach Meta gefragt (siehe meta.cstheory.stackexchange.com/questions/642/when-is-it-reference-to-change-the-accepted-answer). Ich weiß, dass diese Antwort in der Tat großartig und auch sehr nützlich ist. Ich habe jedoch den anderen akzeptiert, weil es für mich viel einfacher war, mit einer intuitiveren Herangehensweise zu verstehen. Es scheint jedoch eine Diskussion über die Richtigkeit (!) Zu geben. Wenn es sich als falsch herausstellte, werde ich in der Tat zu dieser Antwort wechseln. Die Verwirrung ergab sich daraus, dass ich in der ursprünglichen Frage nicht spezifisch war, dass ich eine Diagonalisierung mit HALT vermeiden wollte, und nicht alle Diagonalisierungen.
M. Alaggan
Ich bin äußerst verwirrt darüber, was ich bis zu diesem Moment akzeptieren soll, da ich zwischen einer hervorragenden, tollen Antwort und einer einfachen / intuitiven Antwort wähle (mein Hintergrund ist nicht sehr solide / ausgereift). Also bitte keine harten Gefühle :) Wir können darüber diskutieren und eine befriedigende Entscheidung für alle treffen. Vielen Dank.
M. Alaggan
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Reposted von meinem Kommentar nach Anfrage:

Beginnen Sie mit der Beobachtung, dass es nicht entscheidbare Probleme gibt (einfaches Kardinalitätsargument), und außerdem, dass es ein nicht entscheidbares Problem P gibt, bei dem ein TM M seine Mitglieder erkennt (aber möglicherweise nicht bei Nichtmitgliedern endet). Wenn Sie nun HALT (M) lösen, erhalten Sie eine Entscheidung für P. Wir prüfen zunächst, ob M auf x anhält. Wenn dies der Fall ist, führen wir es aus und geben das Gleiche wie M zurück. Andernfalls lehnen wir es ab, da M bei jedem Mitglied von P anhält. Dies ist nun ein Widerspruch, da wir angenommen haben, dass P unentscheidbar war.

Anmerkung: Er stellte klar, dass er nach einem Argument suchte, das eine Diagonalisierung mit HALT direkt vermeidet, und nicht nach einem Argument, das eine Diagonalisierung vollständig vermeidet.

EDIT: Dieses Argument steckt fest. Können Sie direkt zeigen, dass RE - REC nicht leer ist, außer um zu zeigen, dass HALT drin ist?

Mark Reitblatt
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Das Zählbarkeitsargument verwendet eine sehr ähnliche (nur geringfügig einfachere) Diagonalisierung als der Standardbeweis für das Halteproblem. (Das heißt, um zu zeigen, dass die Kardinalität von Sprachen größer ist als die von TMs, wird Diagonalisierung verwendet.) :)
Joshua Grochow,
@ Joshua Lesen Sie die Kommentare. Ich fragte ihn, ob er einen Beweis suchte, der eine Diagonalisierung vermeide, oder einen, der eine Diagonalisierung mit HALT vermeide. Er sucht nach Letzterem.
Mark Reitblatt
@Mark: Ah, das habe ich verpasst. Vielen Dank. +1
Joshua Grochow
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@Mark: Könnten Sie bitte etwas klarstellen? Sie beginnen mit der Bemerkung, dass es ein nicht entscheidbares Problem P gibt, das erkennbar ist, und stellen dann fest, dass wir, wenn HALT entscheidbar wäre, einen Entscheider für P konstruieren könnten. Die Unentscheidbarkeit von HALT wird verwendet, um das Vorhandensein solcher Probleme zu belegen. P. Können Sie das Vorhandensein von unentscheidbaren, aber erkennbaren Problemen nachweisen, ohne die Unentscheidbarkeit von HALT zu verwenden?
Kurt
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Die Tatsache, dass es ein erkennbares, aber unentscheidbares Problem gibt, lässt sich vielleicht am einfachsten beweisen, indem gezeigt wird, dass das Problem des Anhaltens ein solches Problem ist. In diesem Fall sind Sie wieder da, wo Sie begonnen haben. Es gibt nur unzählige erkennbare Sprachen.
Bjørn Kjos-Hanssen
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Ein anderes Plakat spielte darauf an (unter Bezugnahme auf Chaitin), aber Sie können das Berry-Paradoxon verwenden, um zu beweisen, dass das Stopp-Problem nicht zu entscheiden ist. Hier ist eine kurze Skizze des Beweises:

Sei HALT eine Maschine, die entscheidet, ob eine Maschine M bei Eingabe I anhält. Wir werden zeigen, dass HALT selbst bei einer bestimmten Eingabe nicht anhält, was zeigt, dass es nicht in der Lage ist, die Sprache zu bestimmen.

Betrachten Sie die folgende Funktion f:

f (M, n) = a, wobei a die kleinste positive ganze Zahl ist, die von der Maschine M an einer Eingabe I mit | I | nicht berechnet werden kann <n

Unter der Annahme, dass HALT eine berechenbare Funktion ist, ist f auch eine berechenbare Funktion; simulieren Sie einfach HALT (M, I) für jede Maschine M und geben Sie den String I mit der Länge von I kleiner als n ein. Wenn die Simulation anhält, simulieren Sie M (I) und notieren Sie, was der Ausgang ist, und finden Sie den kleinsten Ausgang a, der von keinem der M, n-Paare ausgegeben wird.

Wir zeigen nun, dass f nicht berechenbar ist: Betrachten Sie f (f, 10000000 * | f | +10000000). Was immer es ausgibt, es sollte eine (positive) Ganzzahl sein, die von der Maschine nicht berechnet werden kann Eingang.

Somit ist f nicht berechenbar, und daher ist unsere Annahme, dass HALT berechenbar war, falsch. Ich glaube nicht, dass dieser Beweis die Diagonalisierung nutzt.

Philip White
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Dieser Beweis ist ungültig. Whatever it outputs, it ought to be an integer that is not computable by the machine computing f on input I with length less than that given. Ein Appell an die modulare Arithmetik zeigt, dass dies trivial falsch ist. Der Fehler besteht in der Annahme, dass die Maschine in der Lage sein muss, Zahlen mit einer Größe von darzustellen , um mit ihnen arithmetisch arbeiten zu können, obwohl es tatsächlich möglich ist, ein arithmetisches Modulo durchzuführen . n>nn
Johne
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Ich versuche nicht unhöflich zu sein, aber Ihr Einwand macht keinen Sinn. Die Funktion f ist als eine Funktion definiert , die eine Ganzzahl ausgibt, die von M bei Eingaben mit einer Länge von weniger als n nicht berechnet werden kann. Abgesehen von unsinnigen Hinweisen auf modulare Arithmetik wird es Ihnen daher schwer fallen, zu zeigen, dass der hervorgehobene Satz ungültig ist.
Philip White
@Johne stimme ich mit Philip. Es gibt keine Annahme über die Grenzen der Maschinendarstellung. Dies ist ein TM.
Mark Reitblatt
@Philip Kleinere technische Korrektur: Sie sollten die Ganzzahl in eine natürliche oder positive Ganzzahl ändern.
Mark Reitblatt
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@Philip du diagonalisierst auf , es ist nur ein anderes als der klassische Beweisfff
Mark Reitblatt
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Ich bin nicht sicher, ob dies zählt, aber Sie können es mit dem Rekursionssatz beweisen. Der Rekursionssatz besagt, dass wenn eine effektive Auflistung aller Turingmaschinen ist und eine rekursive Funktion ist, es ein so dass an allen Eingängen. Wenn Sie entscheiden könnten, ob eine bestimmte Maschine an der Eingabe anhält oder nicht , könnten Sie ein rekursives schreiben , das an der Eingabe den Index einer Turing-Maschine ausgibt, die an wenn nicht an . Durch den Rekursionssatz gibt es , so dass = f e W e = W f ( e ) 0 f e 0 W e 0 e W e ( 0 ) W f ( e ) ( 0 ){We}e=1feWe=Wf(e)0fe0We0eWe(0)Wf(e)(0) ist ein Widerspruch.


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Dies ist der Standarddiagonalisierungsnachweis.
Yuval Filmus