Zusammenhang zwischen Symmetrie und rechnerischer Unlösbarkeit?

Das fixierte punktfreie Automorphismusproblem fordert einen Graphautomorphismus, der mindestens Knoten bewegt . Das Problem ist vollständig, wenn für > 0 ist.k ( n ) N P k ( n ) = n c$k$$k(n)$$NP$$k(n)=n^c$$c$

Wenn jedoch dann ist das Problem das Polynomzeitproblem, das sich auf das Graphisomorphismusproblem reduzieren lässt. Wenn dann ist das Problem eine Polynomzeit, die dem Graphautomorphismusproblem in NPI äquivalent ist und von dem nicht bekannt ist, dass es NP- vollständig ist. Das Graph-Automorphismus-Problem lässt sich auf das Graph-Isomorphismus-Problem reduzieren.k ( n ) = O ( log n / log log n ) N P I N $k(n)=O(\log n)$$k(n)=O(\log n/\log \log n)$$NPI$$NP$

Zur Komplexität der Zählung der Anzahl der durch Graphautomorphismen bewegten Scheitelpunkte, Antoni Lozano und Vijay Raghavan Foundation of Software Technology, LNCS 1530, S. 295–306

Es scheint, dass die Rechenhärte zunimmt, wenn wir die Symmetrie des Objekts, das wir zu finden versuchen, erhöhen (angegeben durch die Anzahl der Knoten, die vom Automorphismus bewegt werden müssen). Es scheint, dass dies den Mangel an Polynomzeit erklärt. Turing-Reduktion von der NP-vollständigen Version zu Graph Automorphism (GA)

Gibt es ein anderes Beispiel für ein schweres Problem, das diese Beziehung zwischen Symmetrie und Härte unterstützt?

Dies ist nicht genau die "gleiche" Beziehung zwischen Symmetrie und Härte, aber es gibt eine enge Beziehung zwischen den Symmetrien einer Booleschen Funktion und ihrer Schaltungskomplexität. Sehen:

Babai, L., Beals, R. und Takácsi-Nagy, P. Symmetrie und Komplexität , STOC 1992.

Hier ist was sie zeigen. Sei eine Folge von Permutationsgruppen. Es sei die Anzahl der Bahnen von in seiner induzierten Wirkung auf (durch Permutation der Koordinaten). Es sei die Klasse der Sprachen so dass unter invariant ist . Dann haben alle Sprachen in Schaltkreise mit einer Größe von höchstens und einer Tiefe von höchstens , und dies ist im Wesentlichen eng. s ( G i ) G i { 0 , 1 } i F ( G ) L L ≤ { 0 , 1 } n G n$G_{i} \leq S_{i}$$s(G_{i})$$G_{i}$$\{0,1\}^{i}$$\mathcal{F}(G)$$L$$L \cap \{0,1\}^{n}$$G_{n}$p o l y ( s ( G ) ) p o l y ( log ( s ( G ) $\mathcal{F}(G)$$poly(s(G))$$poly(\log(s(G))$

In der entgegengesetzten Richtung befinden sich mehrere Probleme, deren viele Symmetrien aufweisen, in (wie ) und sind daher erst dann vollständig, wenn zusammenbricht. In der Tat zeigt das folgende Papier, dass Probleme, deren Zeugensätze viele Symmetrien aufweisen, für gering sind :$NP$$coAM$$GI$$NP$$PH$$NP$$PP$

Arvind, V., Vinodchandran, NV Die Zählkomplexität von gruppendefinierbaren Sprachen . Theoret. Comput. Sci. 242 (2000), Nr. 1-2, 199-218.

(Anmerkung: Ob "niedrig für " "unwahrscheinlich vollständig" anzeigt, ist meines Wissens ein wenig ungewiss. Toda und Ogiwara zeigten, dass . so unter der „derandomization“ Annahme , ist für in der Tat gering , so dass für niedrig kein Hindernis zu sein , ist - vollständig. auf der anderen Seite gibt es ein Orakel wegen ist Beigel relativ auf die für nicht niedrig ist .)$PP$$NP$$PP^{PH} \subseteq BP \cdot PP$$BP \cdot PP = PP$$NP$$PP$$PP$$NP$$NP$$PP$

In ähnlicher Weise wie oben, wenn jede über die Polynomzeit entscheidbare Äquivalenzbeziehung eine vollständig invariante Polynomzeit hat (Funktion so dass iff ), dann jedes Problem, dessen Zeugen Habe viele Symmetrien reduziert sich auf das versteckte Untergruppenproblem für die Automorphismusgruppe ihrer Zeugen. Die Hypothese hier ist zwar eher unwahrscheinlich, gibt aber einen Zusammenhang zwischen Symmetrie und Quantenkomplexität.$f$$f(x) = f(y)$$x \sim y$$NP$

Schließlich geht es bei dem Programm Mulmuley-Sohoni Geomectric Complexity Theory im Wesentlichen darum, Symmetrie zum Nachweis der Härte zu verwenden, obwohl die Symmetrie-Härte-Verbindung dort subtiler und weniger direkt ist.

Strukturierte SAT-Instanzen, die viele Symmetrien aufweisen, scheinen leichter zu lösen zu sein als zufällige SAT-Instanzen. Das Codieren von Problemen der realen Welt in SAT führt immer zu strukturierten Instanzen (was nicht verwunderlich ist, da die Probleme der realen Welt Symmetrien aufweisen). Die besten vollständigen SAT - Löser sind in der Lage, Instanzen der realen Welt mit bis zu 1.000.000 Variablen effizient zu lösen, aber meines Wissens ist keine von ihnen in der Lage, zufällige Instanzen mit beispielsweise 10.000 Variablen (bei Edward A. Hirsch) effizient zu lösen Homepage ist es möglich, einige überraschend kleine zufällige Instanzen zu finden, gegen die sogar die besten vollständigen SAT-Löser stecken bleiben. Aus empirischer Sicht scheint das Vorhandensein von Symmetrien die Härte zu verringern.