Erstbestellungsbedingung für Gewinnmaximierung in der Glücksspielindustrie

Ich arbeite an einem Modell für optimale Auszahlungsquoten in der Glücksspielbranche.

Da der Nominalpreis für ein Ticket im Wert von 1 USD immer 1 USD beträgt , verwenden wir eine effektive Preisstrategie, bei der Q = 1 USD für gewonnene Preise gilt. Wenn sich ein Spiel zu 50% auszahlt, beträgt der effektive Preis 2 USD , da dies erforderlich ist, um einen erwarteten Preis von 1 USD zu gewinnen . Ziemlich einfach, oder?

Nun, ich bin bei einigen Recherchen auf diese Fußnote gestoßen und kann aus der ersten Gleichung nicht herausfinden, wie sie zur Bedingung erster Ordnung für Gewinnmaximierung gekommen sind:

" $C(Q)$ die Betriebskosten als Funktion der Mengeneinheiten darstellen, wobei eine Mengeneinheit als ein Dollar im erwarteten Wert der Preise definiert ist.

Der Nettogewinn der Lotterieagentur ergibt sich aus

$$N = PQ - Q - C(Q)$$

Dabei ist $P$ der Preis, der für eine Mengeneinheit berechnet wird.

Die Bedingung erster Ordnung für die Gewinnmaximierung kann geschrieben werden

$$-E_{PQ} = P(1 - C')/[P(1 -C')- 1]$$

Wenn die Grenzbetriebskosten Prozent des Umsatzes betragen und die Ausschüttungsquote 50 Prozent beträgt , haben wir P = 2 und C ' = .12 , was bedeutet, dass die Preiselastizität der Nachfrage bei maximalem Gewinn - 2,3 beträgt .$6$$50$$P = 2$$C' = .12$$-2.3$

Für eine Erhöhung der Ausschüttungsquote um Gewinne zu steigern, darf maximal 2,3 in absolutem Wert.“$E_{PQ}$$2.3$

- [Zitieren] Clotfelter, Charles T und Philip J Cook. "Über die Wirtschaft der staatlichen Lotterien." Zeitschrift für wirtschaftliche Perspektiven: 105-19.

In der FOC - Gleichung ist die effektive Preiselastizität der Nachfrage. Dies würde normalerweise gefunden werden, indem die Ableitung von P in Bezug auf Q in der ersten Gleichung genommen wird. $-E_{PQ}$$P$$Q$

Wie sind sie dort gelandet, wo sie es getan haben? Es muss etwas geben, das mir fehlt.

Ich habe Probleme zu verstehen, wie diese bestimmte Bedingung erster Ordnung erreicht wurde - ob es sich um ein Ergebnis eines abgeleiteten Prozesses in der Nettoeinkommensgleichung handelte oder ob einfach eine externe Bedingung angewendet wurde.

Vielen Dank!

Der fragliche Ausdruck befindet sich in Fußnote des Artikels, auf den verwiesen wird. Wenn wir die Zeitung lesen, sehen wir, dass die Entscheidungsvariable hier "die Auszahlungsrate" ist, die der Kehrwert von P ist . Entsprechend können wir das Maximierungsproblem bezüglich P (und nicht bezüglich Q ) lösen . Darüber hinaus beinhaltet "Preiselastizität der Nachfrage" die Ableitung von Q in Bezug auf P und nicht umgekehrt:$11$$P$$P$$Q$$Q$$P$

$$E_{PQ} = \frac {dQ/dP}{Q}P$$

und wir erwarten, dass es negativ sein wird (höherer Preis bedeutet niedrigere Auszahlungsrate, was zu einer geringeren Nachfrage nach dem Mengenmaß führt, dh weniger "Nachfrage nach Preisen").

Wir können das Maximierungsproblem als max schreiben

$$\max_{P}N = \max_{P}\left[P\cdot Q(P) - Q(P) - C(Q(P))\right]$$

Die Bedingung erster Ordnung ist

$$\frac{\partial N}{\partial P} = Q + P\cdot Q' - Q' - C'\cdot Q' = 0 \tag{1}$$

Durchgehend mit multiplizieren :$P/Q$

$$Q\frac PQ + P\cdot Q'\frac PQ - Q'\frac PQ - C'\cdot Q'\frac PQ = 0$$

$$\Rightarrow P +P\cdot E_{PQ} - E_{PQ} - C'\cdot E_{PQ}=0$$

$$\Rightarrow -E_{PQ} = \frac {P}{P-1-C'} \tag{2}$$

Das macht Sinn. Die in der Referenz angegebenen Werte einstecken, haben wir

$$-E_{PQ} = \frac {2}{2-1-.12} = \frac {2}{0.88} \approx 2.27$$

Dies kommt dem Wert sehr nahe, der sich aus der von den Autoren angegebenen Gleichung ergibt. Ich war nicht in der Lage, durch irgendwelche algebraischen Manipulationen, die ich versuchte, ihre Formel zu replizieren, aber Gleichung ist auf jeden Fall korrekt. Wenn ein Abgleich zustande kommt, werde ich aktualisieren.$(2)$