GMM - wenn ein Modell identifiziert wird

Angenommen, wir verwenden GMM, um das Modell (für einige Funktionen und ) zu und wir verwenden die Momentanbedingung: wobei so dass das Modell gerade identifiziert wird. Meine Frage ist, woher wissen wir, dass unser Schätzer nicht von der Gewichtsmatrix abhängig ist?$y=m(x;\theta_0)+u$$m$$\theta_0 \in\mathbb{R^p}$$\mathbb{E}[g(\theta_0)]=0$$g:\mathbb{R^p}\rightarrow\mathbb{R^p}$$\hat\theta$

Vielen Dank!

Im genau identifizierten Fall ist es natürlich anzunehmen, dass ein eindeutiges erfüllt , da die Anzahl der Parameter gleich der Anzahl der Gleichungen ist. Es sei solcher Wert.$\theta$$\bar{g}(\theta) = 0$$\hat\theta$$\theta$

Wenn positiv bestimmt ist, ist (weil positiv bestimmt ist) und erreicht genau dann Null, wenn . Das heißt, der globale Minimierer von entspricht der Lösung von , was ist. für welche positiv definierte Matrix auch immer. Somit ist irrelevant.$W$$\bar{g}(\theta)' W \bar{g}(\theta) \ge 0$$W$$\bar{g}(\theta)' W \bar{g}(\theta)$$\bar{g}(\theta)=0$$\bar{g}(\theta)' W \bar{g}(\theta)$$\bar{g}(\theta)=0$$\hat\theta$$W$$W$

Beachten Sie, dass dieses Argument nicht zutrifft, wenn nicht positiv definit ist. Wenn beispielsweise positiv, aber nicht positiv, ist, ist der GMM-Schätzer möglicherweise nicht eindeutig.$W$$W$