Pole und Nullen auf Englisch

Kann jemand eine Erklärung oder einen guten Verweis auf eine Erklärung von Polen und Nullen geben, zum Beispiel einen Stromversorgungskompensator oder irgendein Steuersystem für diese Angelegenheit? Ich bin nicht wirklich auf der Suche nach einer mathematischen Erklärung, da dies ziemlich einfach zu sein scheint, sondern was sie im praktischen Sinne bedeuten.

Es scheint beispielsweise üblich zu sein, in Artikeln oder App-Notizen etwas zu erwähnen wie "eine Fehlerverstärkerkonfiguration vom Typ III hat drei Pole (einen am Ursprung) und zwei Nullen" oder "das Hinzufügen des Kondensators C1 führt eine zusätzliche Null in das System ein". als ob ich etwas davon ohne weitere Erklärung nehmen soll. In Wirklichkeit bin ich wie "ughhh, na und?"

Also, was würde so etwas aus praktischer Sicht bedeuten? Sind Pole Instabilitätspunkte? Zeigen die Anzahl der Nullen und Pole etwas über Stabilität an oder fehlt sie? Gibt es irgendwo einen Hinweis darauf, der verständlich geschrieben ist und es mir erlaubt (eher eine praktische Anwendung, nicht Hardcore-Mathematik für mathematische Zwecke), mich der Masse anzuschließen, wenn es um App-Notizen geht, die auf Nullen und Polen verweisen ?

1. $L(s)$

2. $L(s)$

3. $j\omega$$0$

4. Das Zeichnen von Bode-Diagrammen aus Polen und Nullen ist recht einfach, daher sind sie die bevorzugte Methode zum Spezifizieren von Steuerungssystemen. Auch wenn Sie die Ausgangslast ignorieren können (weil Sie die verschiedenen Stufen mit Operationsverstärkern getrennt haben), können Sie die Übertragungsfunktionen einfach multiplizieren, ohne alle normalen Schaltkreisberechnungen durchzuführen. Durch Multiplikation von Polynomverhältnissen können Sie die Listen der Pole und Nullen einfach verketten.

Also zurück zu deiner Frage:

1. Auf der Wikipedia-Seite finden Sie eine Einführung und in diesem Tutorial finden Sie eine Referenz zum Zeichnen von Bode-Diagrammen aus einer Liste von Polen und Nullen.

2. $s$$j\omega$$V_{out} \over V_{in}$

3. Aus einer Open-Loop-Übertragungsfunktion (stellen Sie sich vor, Sie schneiden die Schleife mit einer Schere und stecken eine Art Frequenzgangmesser hinein) zeichnen Sie Bode-Diagramme und überprüfen die Stabilität. Der Anwendungshinweis zu Feedback, Operationsverstärkern und Kompensation ist kurz und umfangreich, enthält jedoch die gesamte Theorie, die Sie für diesen Teil benötigen. Versuchen Sie es zumindest zu überfliegen.

Kurz gesagt, Pole und Nullen dienen zur Analyse der Stabilität eines Rückkopplungssystems.

Ich werde versuchen, nicht zu mathelastig zu werden, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich es erklären soll, ohne wenigstens ein bisschen Mathe.

Hier ist die Grundstruktur eines Feedback-Systems:

In dieser Form gibt es keine Verstärkung oder Kompensation im Rückkopplungspfad, sie liegt vollständig im Vorwärtspfad, jedoch kann der Rückkopplungsabschnitt allgemeinerer Systeme so transformiert und auf die gleiche Weise analysiert werden.

$L(s)$$L(s) = 1$$s$$L(s) = 0$

$L(0)$

Polen und Nullen

$L(s)$$A e^{i \theta}$$\theta$$L(s)$

$L(s)$$L(s)$

$L(s)$$L(s)$

$L(s) = \frac{10^{6}}{s}$

$L(s)$$L(s)$

Hoffe das hilft. Im Allgemeinen würde ich erwarten, dass Datenblätter und App-Hinweise Werte für die Kompensationskomponenten vorschlagen, damit der Benutzer die Stabilität nicht analysieren muss, es sei denn, es gibt spezielle Anforderungen. Wenn Sie ein bestimmtes Teil im Sinn haben, das Sie nicht verwenden können, und Sie einen Link zum Datenblatt posten, kann ich möglicherweise etwas anbieten.

Ein Pol ist eine Frequenz, bei der ein Filter mitschwingt und zumindest mathematisch eine unendliche Verstärkung hätte. Eine Null blockiert eine Frequenz - die Verstärkung Null.

Ein einfacher Gleichstrom-Sperrkondensator, beispielsweise zum Koppeln von Audioverstärkern, hat am Ursprung eine Null - er blockiert 0-Hz-Signale, dh blockiert eine konstante Spannung.

Im Allgemeinen haben wir es mit komplexen Frequenzen zu tun. Wir betrachten nicht nur Signale, die Summen von Sinus / Cosinus-Wellen sind, wie Fourier es tat; Wir theoretisieren über exponentiell wachsende oder abfallende Sinus / Cosinus. Pole und Nullen, die solche Signale darstellen, können irgendwo in der komplexen Ebene liegen.

Befindet sich ein Pol in der Nähe der realen Achse, die normale gleichmäßige Sinuswellen darstellt, so handelt es sich um ein scharf abgestimmtes Bandpassfilter wie eine hochwertige LC-Schaltung. Wenn es weit ist, ist es ein matschiger weicher Bandpassfilter mit einem niedrigen Q-Wert. Die gleiche Art von intuitivem Denken gilt für Nullen - schärfere Kerben im Antwortspektrum treten auf, wenn Nullen nahe an der realen Achse liegen.

Die Übertragungsfunktion L (s), die die Antwort eines Filters beschreibt, sollte die gleiche Anzahl von Polen und Nullen haben. Dies ist eine grundlegende Tatsache in der komplexen Analyse, die gültig ist, weil es sich um lineare konzentrierte Komponenten handelt, die durch einfache Algebra, Ableitungen und Integrale beschrieben werden, und wir können Sinus / Cosinus als komplexe Exponentialfunktionen beschreiben. Diese Art von Mathematik ist überall analytisch. Es ist jedoch üblich, Pole oder Nullen im Unendlichen nicht zu erwähnen.

Jedes Objekt, wenn es nicht auf der reellen Achse liegt, erscheint paarweise - mit einer komplexen Frequenz und mit seiner komplexen Konjugation. Dies hängt damit zusammen, dass ein reales Signal ein reales Signal auslöst. Wir messen keine komplexen Spannungen. (In der Mikrowellenwelt wird es interessanter.)

Wenn L (s) = 1 / s ist, ist dies ein Pol am Ursprung und eine Null im Unendlichen. Dies ist die Funktion für einen Integrator. Legen Sie eine konstante Spannung an und die Verstärkung ist unendlich - der Ausgang steigt unbegrenzt an (bis die Versorgungsspannung erreicht ist oder der Stromkreis raucht). Am anderen Ende hat das Einfügen einer sehr hohen Frequenz in einen Integrator keine Auswirkung. es wird mit der Zeit auf Null gemittelt.

Pole in der "rechten Halbebene" stellen eine Resonanz bei einer Frequenz dar, die ein Signal exponentiell wachsen lässt. Sie wollen also Pole in der linken Halbebene, was bedeutet, dass für jedes beliebige Signal, das in den Filter eingegeben wird, der Ausgang letztendlich auf Null abfällt. Das ist für einen normalen Filter. Natürlich sollen Oszillatoren schwingen. Sie behalten aufgrund von Nichtlinearitäten ein stabiles Signal bei - Transistoren können nicht mehr als Vcc oder weniger als 0 Volt für die Ausgabe ausgeben.

Wenn Sie sich ein Frequenzgangdiagramm ansehen, können Sie vermuten, dass jede Erhebung einem Pol und jede Neigung zu einer Null entspricht, aber das ist nicht genau richtig. und Pole und Nullen, die von der realen Achse entfernt sind, haben Auswirkungen, die auf diese Weise nicht erkennbar sind. Es wäre schön, wenn jemand ein Flash- oder Java-Web-Applet erfinden würde, mit dem Sie mehrere Pole und Nullen an einer beliebigen Stelle verschieben und die Antwort aufzeichnen könnten.

All dies ist stark vereinfacht, sollte aber eine intuitive Vorstellung davon geben, was Pole und Nullen bedeuten.

Lassen Sie mich versuchen, dies auf noch einfachere Begriffe zu bringen als die feinen Erklärungen, die zuvor gepostet wurden.

Zuallererst ist zu erkennen, dass Pole und Nullen für Steuersystemtypen bedeuten, dass wir uns im Laplace-Bereich befinden. Die Laplace-Transformation wurde erstellt, um die algebraische Behandlung von Differential- und Integralgleichungen zu ermöglichen. Das 's' in einer Laplace-Gleichung bedeutet "die Ableitung von" und "1 / s" bedeutet "nimm das Integral von". Wenn Sie jedoch einen Block mit einer Übertragungsfunktion von (1 + s) gefolgt von einem anderen Block mit einer Übertragungsfunktion (TF) von (3 - 5 / s) haben, können Sie die Gesamtübertragungsfunktion einfach durch Multiplizieren von (1 + s) erhalten ) durch (3 - 5 / s) und erhalten (3s - 5 / s - 2), was erheblich einfacher ist, als wenn Sie in der regulären Domäne blieben und mit Integralen und Derivaten arbeiten mussten.

Auf die Frage -> bedeutet ein Pol, dass die Gesamtübertragungsfunktion ein 's' hat, für das sein Wert unendlich ist. (Wie Sie sich vorstellen können, ist dies häufig eine sehr schlechte Sache.) Eine Null bedeutet genau das Gegenteil: Ein Wert von 's' ergibt die Gesamt-TF = 0. Hier ein Beispiel:

Ein TF ist (s + 3) / (s + 8). Diese TF hat eine Null bei s = -3 und einen Pol bei s = -8.

Pole sind ein notwendiges Übel: Um irgendetwas Nützliches zu tun, wie zum Beispiel den Ausgang eines realen Systems zu einem Eingang zu machen, braucht man unbedingt Pole. Sie müssen das System häufig mit mehr als einem von ihnen entwerfen. Wenn Sie jedoch nicht auf Ihr Design achten, könnten einer oder mehrere dieser Pole in das "s gleich einer Zahl mit einer positiven Realkomponente" (dh die rechte Hälfte der Ebene) geraten. Dies bedeutet ein instabiles System. Dies ist normalerweise sehr schlecht, es sei denn, Sie bauen absichtlich einen Oszillator.

Die meisten offenen Schleifensysteme haben Pole und Nullen, die leicht zu charakterisieren sind und sich sehr gut verhalten. Wenn Sie jedoch absichtlich (oder ungewollt, was extrem einfach ist) einen Teil der Ausgabe entnehmen und an einen früheren Teil des Systems zurückführen, haben Sie ein Feedback-System mit geschlossenem Regelkreis erstellt. Die Pole und Nullen der geschlossenen Schleife sind mit den Polen und Nullen der offenen Schleife verwandt, jedoch nicht auf eine Weise, die für den zufälligen Beobachter intuitiv ist. Es genügt zu sagen, dass Designer hier häufig in Schwierigkeiten geraten. Diese Stangen mit geschlossener Schleife müssen sich auf der linken Seite der Laplace-Ebene befinden. Die beiden am häufigsten verwendeten Techniken, um dies zu erreichen, sind die Steuerung der Gesamtverstärkung über den Pfad mit geschlossener Schleife und / oder das Hinzufügen von Nullen (Nullen mit offener Schleife lieben Pole mit offener Schleife und bewirken oft, dass sich die Pole mit geschlossener Schleife sehr unterschiedlich verhalten).

Ein kurzer Kommentar zu einer hoch bewerteten Antwort oben: "Kurz gesagt, Pole und Nullen sind eine Möglichkeit, die Stabilität eines Rückkopplungssystems zu analysieren."

Während die Aussage wahr ist, muss das System kein Feedback haben, damit diese Konzepte nützlich sind. Pole und Nullen sind nützlich, um die meisten realen Systeme mit einem anderen Frequenzgang als einem flachen Frequenzgang zu verstehen, z. B. Filter, Verstärker und alle Arten dynamischer Systeme.

Um etwas Mathematik hinzuzufügen (wir müssen, es ist ein mathematisches Konzept), können Sie (für viele Systeme) einen Frequenzgang eines Systems wie folgt ausdrücken:

H (f) = B (f) / A (f)

und B (f) und A (f) können als komplexe Polynome in der Frequenz ausgedrückt werden.

Ein einfaches Beispiel: Betrachten Sie ein RC-Tiefpassfilter (Spannungseingang -> Serie R -> Nebenschluss C -> Spannungseingang).

Die Verstärkung (Übertragungsfunktion) kann im Frequenzbereich ausgedrückt werden als:

Vout (f) / Vin (f) = H (f) = 1 / (1 + j · 2 · pi · f · R · C),

Dabei ist j (oder i) die Quadratwurzel von -1.

Es gibt einen Pol bei der Frequenz fp = 1 / (2 pi RC). Wenn Sie die Größe dieser komplexen Gleichung zeichnen, werden Sie feststellen, dass die Verstärkung bei DC 1 (0 dB) ist, dass die Verstärkung bei f = fp = 1 / (2 * pi * RC) auf -3 dB abfällt und dass die Verstärkung sinkt weiterhin mit -20 dB pro Jahrzehnt (10-fache Frequenzerhöhung) nach dem Pol.

Sie können sich den Pol also als Bruchstelle in der Verstärkungsreaktion gegenüber der Frequenz vorstellen. Dieses einfache Beispiel ist ein Tiefpassfilter mit einer "Eckfrequenz" bei w = 1 / (RC) oder f = 1 / (2 pi RC).

Mathematisch gesehen ist ein Pol eine Wurzel des Nenners. In ähnlicher Weise ist eine Null eine Wurzel des Zählers, und die Verstärkung steigt bei Frequenzen über einer Null an. Die Phase ist auch betroffen ... aber vielleicht ist das mehr als genug für einen nicht-mathematischen Thread.

Die "Ordnung" ist die Anzahl der Pole und der "Typ" ist die Anzahl der Pole bei f = 0 (reine Integratoren).