Warum komplexe Zahlen zur Darstellung von Amplitude und Phase von Wechselstrom verwenden?

36

Warum werden Sinuswellen in Wechselstromkreisen als komplexe Zahl in polarer Form dargestellt? Aus physikalischer Sicht verstehe ich logischerweise nicht, warum es überhaupt einen Imaginärteil gibt. Ist es rein mathematisch, die Analyse von Schaltkreisen zu vereinfachen?

ac circuit-analysis Prevost
quelle

Mögliches Duplikat: electronics.stackexchange.com/questions/28285/…

clabacchio

8

Zitat: "Ist es rein mathematisch, die Analyse von Schaltkreisen zu vereinfachen?"

Ich bin mir nicht sicher, ob dieser Teil der Frage bereits ausreichend beantwortet wurde. Deshalb: Ja - die Verwendung komplexer Mathematik zur Beschreibung sinusförmiger Signale hat keine direkte physikalische Relevanz. Es geht nur darum, "Analysen einfacher zu machen".

Als Beispiel: Die Einführung von Eulers berühmter Formel für Sinussignale in die Fourier-Reihe führt zu negativen Frequenzen (symmetrisch zu positiven Frequenzen). Daher stellt sich die Frage: Gibt es in der Realität negative Frequenzen? Die Antwort ist nein! Es ist nur ein hilfreiches mathematisches Werkzeug.

LvW
quelle

Genau das habe ich mich gefragt.

Prevost

83

Eigentlich ist die Motivation ganz einfach.

Wenn Sie einen linearen Stromkreis haben und ihn mit nur einer Frequenz stimulieren, werden Sie immer genau dieselbe Frequenz finden, nur die Amplitude und die Phase der Welle, die Sie messen, ändern sich.

Was Sie dann tun, ist zu sagen, lassen Sie uns die Frequenz vergessen. Wenn ich Amplitude und Phase der Spannungen und / oder Ströme um den Stromkreis herum verfolge, ist dies mehr als genug. Aber wie kannst du das machen? Gibt es kein mathematisches Werkzeug, mit dem Sie Amplitude und Phase verfolgen können? Ja, Sie haben es verstanden: Vektoren. Ein Vektor hat eine Amplitude, dh seine Länge, und eine Phase, dh den Winkel, den er mit der x-Achse bildet, wobei die Richtung im Uhrzeigersinn positiv ist.

Jetzt können Sie einwenden, dass ok Vektoren cool sind, aber ist nichts cooler? Und warum müssen wir die imaginäre Einheit verwenden?

Die Antwort auf die zweite Frage ist einfach: Berechnungen mit Vektoren zu machen ist ein ziemlicher Schmerz, ein Notationsschmerz:

(\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 10 \end{matrix})

$\pmatrix{2\\3}+\pmatrix{1\\7}=\pmatrix{3\\10}$

Und das ist zusätzlich allein! Nun, das ist nur ein Notationsproblem, wenn wir eine andere Basis von wählen, sind die Dinge vielleicht besser ... Und diese Basis existiert, erfordert aber die imaginäre Einheit . Das vorherige Chaos wird: Viel einfacher, nicht ? $\mathbb{R}^2$ $j$

2 + 3 j + 1 + 7 j = 3 + 10 j

$2+3j+1+7j=3+10j$

Ok, aber was hat ein imaginärer Vektor mit einer Spannung gemeinsam? Versuchen Sie sich die Gauß-Ebene vorzustellen, die x-Achse ist die reelle Achse, die y-Achse ist die imaginäre.

Eine Spannung kann über den Ursprung, dessen Länge auf den Spannungswert gleich zentriert durch einen Vektor dargestellt werden kann, dessen Ausgangswinkel zu der Phase gleich sind . Jetzt der Zaubertrick: Drehen Sie den Vektor so, dass seine Winkelgeschwindigkeit der gewünschten Frequenz entspricht: $\omega$

schöner phasor

Bam. Das nennen wir einen Zeiger , und dieser kleine Kerl ist die stärkste Waffe, die Sie gegen harte Rennstrecken haben.

Warum sind diese Zeiger so besonders? Das liegt daran, dass wenn Sie zwei reelle Spannungen nehmen: und Sie diese summieren möchten, Es kommt vor, dass das Ergebnis gleich ist , wenn Sie die entsprechenden Zeiger summieren und dann in die reale Domäne zurückkehren . Dies ist natürlich keine Magie, sondern hängt von der mathematischen Affinität zwischen Cosinusoiden und dem komplexen Exponential ab . Glauben Sie mir einfach oder glauben Sie dieses coole Bild:

v_{1} (t) = V_{1} \cos (2 π f_{0} t + θ_{1}) v_{2} (t) = V_{2} \cos (2 π f_{0} t + θ_{2})

$v_1(t)=V_1\cos(2\pi f_0t+\theta_1)\\ v_2(t)=V_2\cos(2\pi f_0t+\theta_2)$

Bildbeschreibung hier eingeben

Und das Beste daran ist, dass alle bisher untersuchten realen Schaltungsanalysen weiterhin mit Zeigern und komplexen Impedanzen arbeiten. Das heißt: Das Ohmsche Gesetz gilt für Zeiger und komplexe Impedanzen , und das ist großartig, da wir eine Menge Werkzeuge zum Lösen von Schaltkreisen haben, die auf dem Ohmschen und dem Kirchhoffschen Gesetz basieren, und wir können sie immer noch verwenden.

Mit phasors die Ableitung unter / Integration ist auch super einfach: wie Sie wissen, da wir von Sinus- und Cosinus sprechen alle auf der gleichen Frequenz , es ist nur eine Frage der Phasenverschiebung, und dass -surprise- ist sehr klar , wenn Sie die Verwendung komplexe exponentielle Darstellung.

TL; DR: Sinuskurven werden als rotierende Vektoren auf der Polarebene dargestellt, es ist fast so, als würden Sie die Zeit anhalten, während Sie sich drehen und ein Foto machen, dh Phasen- und Amplitudenverhältnisse berechnen. Schauen Sie sich einfach die Phasor- Seite auf Wikipedia an. Und überprüfen Sie diese andere prägnantere Antwort auch.

Vladimir Cravero
quelle

7

Nizza pwretty Bilder mich wie +1

Andy aka

Ein weiteres Plus an der komplexen Darstellung: Die Ableitung eines komplexen Exponentials ist nur ein weiteres komplexes Exponential mit einer Phasenverschiebung. Daher müssen Sie nicht nachverfolgen, ob Sie Sinus oder Cosinus verwenden. (Das ist natürlich implizit in Ihrem Standpunkt zu einer Schaltung enthalten, die von einer einzelnen Frequenz angetrieben wird, aber ich denke, es ist ein schöner Punkt, darüber explizit zu sein.)

Semiclassical

Sie beschönigen die wirklich coole Sache, die komplexe Zahlen besser macht als Vektoren: E = IR funktioniert mit komplexen Zahlen.

Supercat

Das ist knapp über dem tldr-Bereich ...

Vladimir Cravero

Schön (+1). Können Sie zwei Zeiger hintereinander hinzufügen, um die Amplitudenmodulation anzuzeigen, und dann die 90-Grad-Phasenverschiebung für FM durchführen? (Ich würde meistens gerne ein FM-Zeigerdiagramm mit einem hohen Modulationsindex sehen. Ich kann mir das nur schwer vorstellen.)

George Herold,

1

Das Wichtigste ist, dass jedes periodische Signal (mit einigen grundlegenden analytischen Einschränkungen, die entweder in der Praxis oder in beliebigem Maße gelten, wenn nicht genau) als Summe von Sinus- und Cosinussignalen mit einer Frequenz dargestellt werden kann, die ein Vielfaches von ist die Periode des Signals.

Sobald Sie die Herrschaft der direkten Reaktion verlassen haben (wie bei Widerständen), kann Energie gespeichert und abgerufen werden. Spulen speichern magnetische Energie (Anlegen von Spannung und Strom startet nur allmählich, geht aber weiter, wenn die Spannung abfällt), Kondensatoren speichern elektrische Energie (Anlegen von Strom und Spannung startet nur allmählich, geht aber weiter, wenn der Strom abfällt), Massen wandeln Kraft allmählich in Impuls um , Federn wandeln allmählich Impulse in Kräfte um und so weiter.

Viele Formen von Macht sind im Grunde genommen das Quadrat eines Erregungsmaßes. Nun stellt sich heraus, dass die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus des gleichen Arguments 1 ist. Eine Konstante. Sie können also die periodische Umwandlung von Energie mit Sinus und Cosinus sehr gut beschreiben.

Es stellt sich heraus, dass Algebra mit Sinus und Cosinus schwierig ist. Wenn Sie einen imaginären Ausdruck hinzufügen, der die Energieform Ihres periodischen Signals darstellt, an dem Sie nicht interessiert sind, und den verbleibenden Imaginärteil nach Abschluss des Vorgangs wegwerfen, werden die algebraischen Manipulationen auf Kosten der tatsächlichen Variablen viel einfacher .

user53147
quelle

1

Angenommen, wir haben eine einfache Schaltung mit einer Spannungsquelle die mit einer Induktionsspule mit der Induktivität in Reihe geschaltet ist . Dann, $v(t) = Vcos(\omega t + \phi)$ $L$

v (t) = R e {V e^{j (ω t + ϕ)}} = L \frac{d i}{d t} R e {V e^{j (ω t + ϕ)}} d t = L d i \int R e {V e^{j (ω t + ϕ)}} d t = L \int d i R e {\int V e^{j (ω t + ϕ)} d t} = L i (t) R e {\frac{1}{j ω} V e^{j (ω t + ϕ)}} = L i (t) i (t) = R e {\frac{1}{j ω L} V e^{j ϕ} e^{j ω t}}

$v(t) = Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = L\frac{di}{dt}\\ Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L\ di\\ \int Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L \int \ di\\ Re\{\int Ve^{j(\omega t + \phi)}\ dt\} = L i(t)\\ Re\{\frac{1}{j\omega}Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = Li(t)\\ i(t) = Re\{\frac{1}{j\omega L}Ve^{j\phi}e^{j\omega t}\}$

Was kauft uns das? Nun, wir können die Spule einfach als Widerstand mit dem Wert Dann könnten wir durch die Konstante ersetzen . In dieser vereinfachten Schaltung verwenden wir das Gesetz, um . Dann, um den tatsächlichen Wert von zu finden, multiplizieren wir einfach mit und nehmen seinen Realteil. Dies kann auf alle passiven Komponenten ausgeweitet werden. Daher können wir alle Wechselgrößen mit komplexen Zahlen modellieren , wodurch alle Berechnungen im Prozess vereinfacht werden. Wir können sie dann jederzeit wieder in ihre nicht komplexe Form zurückversetzen. $j\omega L$ $v(t)$ $v_o = Ve^{j\phi}$ $i_o = \frac{v_o}{R} = \frac{v_o}{j\omega L}$ $i(t)$ $i_o$ $e^{j\omega t}$

Veritas
quelle

0

Ich gehe davon aus, dass wir uns einig sind, dass es sich um zwei Informationen handelt, die ein Wechselstromsignal zu jedem Zeitpunkt, zu jeder Amplitude und Phase darstellen, wohingegen es sich bei ihnen nur um eine Amplitude für Gleichstrom handelt.

Es ist nicht nur die Analyse, bei der wir Informationen manipulieren müssen, sondern auch der Entwurf von Schaltkreisen. Komponenten haben eine Impedanz und wirken auf Wechselstromsignale. Wenn wir also entwerfen, müssen wir Impedanzen berechnen können, um eine Schaltung mit bestimmten Wechselstrom-Eigenschaften zu entwerfen.

Komplexe Zahlen sind praktisch, um sowohl Wechselstromsignale als auch Impedanzen darzustellen und zu berechnen. Die beiden Dimensionen Länge und Winkel ermöglichen es uns, Amplitude und Phase zusammen zu berechnen und konsistent zu halten.

gbulmer
quelle

Warum komplexe Zahlen zur Darstellung von Amplitude und Phase von Wechselstrom verwenden?

Antworten: