Was genau sind Harmonische und wie „erscheinen“ sie?

Wenn ich so viele Quellen online lese, kann ich immer noch nicht verstehen, warum verschiedene Wellenformen Oberwellen haben.

Zum Beispiel: Wie werden Oberwellen erzeugt, wenn eine Schaltung zur dummen Amplitudenmodulation (AM) entworfen wird, die eine Rechteckwelle von einem Mikrocontroller auf eine Antenne überträgt? Das Signal ist nur "Ein" oder "Aus", wie gibt es erste, dritte und fünfte Harmonische und warum werden sie schwächer?

Ich habe gehört, dass Oszilloskope in der Lage sind, bis zur fünften Harmonischen einer Rechteckwelle (oder etwas Ähnlichem) zu messen, aber warum würde das das Ablesen anders machen? Sind diese Oberschwingungen beispielsweise für die Datenübertragung (hoch = 1, niedrig = 0) irrelevant und spielen nur in Situationen wie Audio oder HF eine Rolle?

Warum haben Sinuswellen nicht so viele Harmonische? Weil sich die Wellenform immer bewegt und nicht flach nach oben (Dreieck) oder horizontal (Quadrat) geht, sondern kreisförmig mit einem sich ständig ändernden Wert?

Sinuswellen haben keine Harmonischen, weil es genau Sinuswellen sind, die zusammen andere Wellenformen bilden können. Die Grundwelle ist ein Sinus, Sie müssen also nichts hinzufügen, um das sinusförmige Signal zu erzeugen.

Über das Oszilloskop. Viele Signale haben eine große Anzahl von Harmonischen, manche, wie eine Rechteckwelle, sind theoretisch unendlich.

Dies ist eine Teilkonstruktion einer Rechteckwelle. Der blaue Sinus, der 1 Periode anzeigt, ist der Grundton. Dann gibt es die dritte Harmonische (Rechteckwellen haben nicht einmal Harmonische), die violette. Seine Amplitude beträgt 1/3 der Grundwelle, und Sie können sehen, dass es die dreifache Frequenz der Grundwelle ist, da es 3 Perioden zeigt. Gleiches gilt für die fünfte Harmonische (braun). Die Amplitude beträgt 1/5 der Grundwelle und zeigt 5 Perioden. Addiert man diese, erhält man die grüne Kurve. Dies ist noch keine gute Rechteckwelle, aber Sie sehen bereits die steilen Kanten, und die gewellte horizontale Linie wird letztendlich vollständig horizontal, wenn wir mehr Harmonische hinzufügen. Auf diese Weise sehen Sie eine Rechteckwelle auf dem Oszilloskop, wenn nur die fünfte Harmonische angezeigt wird. Dies ist wirklich das Minimum, für eine bessere Rekonstruktion benötigen Sie mehr Harmonische.

Wie jedes nicht sinusförmige Signal erzeugt das AM-modulierte Signal Oberwellen. Fourier hat bewiesen, dass jedes sich wiederholende Signal in eine Grundfrequenz (dieselbe Frequenz wie die Wellenform) und in Harmonische mit Frequenzen zerlegt werden kann, die Vielfache der Grundfrequenz sind. Dies gilt sogar für sich nicht wiederholende Wellenformen. Selbst wenn Sie nicht so schnell sehen, wie sie aussehen würden, ist die Analyse immer möglich.

Dies ist ein Basis-AM-Signal und das modulierte Signal ist das Produkt des Trägers und des Basisbandsignals. Jetzt

$sin(f_C) \cdot sin(f_M) = \dfrac{cos(f_C - f_M) - cos(f_C + f_M)}{2}$

$(f_C - f_M)$$(f_C + f_M)$$f_C$

Selbst wenn Ihr Basisbandsignal ein komplexeres Signal ist, können Sie das modulierte Signal in getrennte Sinusse aufteilen.

Die Antwort von Pentium100 ist ziemlich vollständig, aber ich möchte eine viel einfachere (wenn auch weniger genaue) Erklärung geben.

$C^{\infty}$

Nur ein Beispiel: Warum sieht man im Wasser normalerweise gekrümmte Wellen? (Ignorieren Sie aus diesem Grund die Auswirkungen von Strand und Wind.) Auch dies liegt daran, dass die Form weniger Energie benötigt, da alle Rampen und Kanten glatt sind.

In einigen Fällen, wie bei der Hammond-Orgel , werden Sinuswellen tatsächlich zum Komponieren des Signals verwendet, da bei einer Zerlegung viele (praktisch alle) Klänge synthetisiert werden können.

Es gibt eine schöne Animation von LucasVB , die die Fourierzerlegung einer Rechteckwelle erklärt:

Diese Bilder erklären die Zerlegung von Rechtecken in Harmonischen besser:

Sie können jede Wellenform in eine unendliche Reihe von Sinuswellen zerlegen, die addiert werden. Dies wird als Fourier-Analyse (wenn sich die ursprüngliche Wellenform wiederholt) oder Fourier-Transformation (für eine beliebige Wellenform) bezeichnet.

Im Fall einer sich wiederholenden Wellenform (wie einer Rechteckwelle) stellen Sie bei der Fourier-Analyse fest, dass alle Sinuskurven, aus denen die Wellenform besteht, Frequenzen aufweisen, die ein ganzzahliges Vielfaches der Frequenz der ursprünglichen Wellenform sind. Diese werden "Harmonische" genannt.

Eine Sinuswelle hat nur eine Harmonische - die Grundwelle (nun, sie ist bereits Sinus, besteht also aus einem Sinus). Rechteckwellen haben eine unendliche Reihe von ungeraden Harmonischen (das heißt, um eine Rechteckwelle aus Sinus zu machen, müssen Sie Sinus zu jedem ungeraden Vielfachen der Grundfrequenz hinzufügen).

Die Harmonischen werden durch Verzerrung der Sinuswelle erzeugt (obwohl Sie sie separat erzeugen können).

Warum ist das wichtig:

1. Sie können aus jeder Welle einer festen Frequenz eine Sinuswelle machen, solange Sie einen Filter haben, der die Grundfrequenz durchlässt, aber die 2-fache Frequenz blockiert (da Sie nur eine Harmonische an Ort und Stelle belassen würden).
2. Tatsächlich können Sie eine Sinuswelle mit einer anderen Frequenz als die Orginalwelle erzeugen. Verwenden Sie einfach einen Bandpassfilter, um die gewünschte Harmonische durchzulassen. Sie können dies verwenden, um eine Sinuswelle mit einer Frequenz zu erhalten, die ein Vielfaches der Frequenz eines anderen Sinus ist. Verzerren Sie einfach den ursprünglichen Sinus und wählen Sie die gewünschte Harmonische aus.
3. HF-Systeme müssen Wellenformen ausgeben, die keine Oberwellen außerhalb des zulässigen Frequenzbereichs enthalten. Auf diese Weise kann eine PWM-Stromversorgung (Betriebsfrequenz ~ 100 kHz, Rechteckwelle) das FM-Radio stören (Betriebsfrequenzen 88-108 MHz, 11-12 MHz (ZF)).
4. Wenn Sie eine Rechteckwelle mit sehr schnellen Anstiegs- / Abfallzeiten wünschen, muss die Bandbreite Ihres Systems viel breiter sein als die Grundfrequenz Ihrer Rechteckwelle.

Die Ableitung - Änderungsrate - einer Sinuskurve ist eine andere Sinuskurve mit der gleichen Frequenz, jedoch phasenverschoben. Reale Komponenten - Drähte, Antennen, Kondensatoren - können den Änderungen (Spannung, Strom, Feldstärke usw.) der Ableitungen sowie dem ursprünglichen Signal folgen. Die Änderungsraten des Signals, der Änderungsrate des Signals, der Änderungsrate der Änderungsrate des Signals usw. existieren alle und sind endlich.

Die Harmonischen einer Rechteckwelle existieren, weil die Änderungsrate (erste Ableitung) einer Rechteckwelle aus sehr hohen, plötzlichen Spitzen besteht; unendlich hohe Spitzen, im Grenzfall einer sogenannten perfekten Rechteckwelle. Reale physikalische Systeme können solchen hohen Raten nicht folgen, so dass die Signale verzerrt werden. Kapazität und Induktivität schränken einfach ihre Fähigkeit ein, schnell zu reagieren, sodass sie klingeln.

So wie eine Glocke mit der Geschwindigkeit, mit der sie angeschlagen wird, weder verschoben noch verzerrt werden kann und so langsamer Energie speichert und (durch Vibrieren) abgibt, reagiert ein Schaltkreis nicht mit der Geschwindigkeit, mit der er von der Glocke angeschlagen wird Spitzen, die die Kanten der Rechteckwelle sind. Es klingelt oder schwingt, wenn die Energie verbraucht wird.

Ein begrifflicher Block kann aus dem Konzept stammen, dass die Harmonischen eine höhere Frequenz als die Grundwelle haben. Was wir die Frequenz der Rechteckwelle nennen, ist die Anzahl der Übergänge pro Zeiteinheit. Aber gehen Sie zurück zu diesen Ableitungen - die Änderungsraten, die das Signal macht, sind im Vergleich zu den Änderungsraten in einer Sinuskurve bei derselben Frequenz enorm. Hier treffen wir auf die höheren Komponentenfrequenzen: Diese hohen Änderungsraten haben die Eigenschaften von höherfrequenten Sinuswellen . Die hohen Frequenzen werden durch die hohen Änderungsraten des Quadratsignals (oder eines anderen nicht sinusförmigen Signals) impliziert.

Die schnell ansteigende Flanke ist nicht typisch für eine Sinuskurve mit der Frequenz f , sondern für eine viel höherfrequente Sinuskurve. Das physikalische System folgt ihm so gut es geht, reagiert jedoch aufgrund seiner begrenzten Frequenz viel stärker auf die Komponenten mit niedrigerer Frequenz als auf die Komponenten mit höherer Frequenz. Wir langsamen Menschen sehen also die größere Amplitude, die niedrigeren Frequenzgänge und nennen das f !

In der Praxis liegt der Grund dafür, dass Oberwellen "erscheinen", darin, dass lineare Filterschaltungen (sowie viele nichtlineare Filterschaltungen), die zum Erfassen bestimmter Frequenzen ausgelegt sind, bestimmte Wellenformen niedrigerer Frequenz als die Frequenzen wahrnehmen, an denen sie interessiert sind. Um zu verstehen, warum, stellen Sie sich eine große Feder mit einem sehr hohen Gewicht vor, die über eine ziemlich lockere Feder an einem Griff befestigt ist. Durch Ziehen am Griff wird das schwere Gewicht nicht direkt stark bewegt, aber die große Feder und das große Gewicht haben eine bestimmte Resonanzfrequenz. Bewegt man den Griff bei dieser Frequenz vor und zurück, kann man dem großen Gewicht und der großen Feder Energie hinzufügen Erhöhen der Schwingungsamplitude, bis sie viel größer ist als "direkt" durch Ziehen an der losen Feder erzeugt werden könnte.

Die effizienteste Art, Energie in die große Feder zu übertragen, besteht darin, ein gleichmäßiges Muster entsprechend einer Sinuswelle zu ziehen - dasselbe Bewegungsmuster wie bei der großen Feder. Andere Bewegungsmuster funktionieren jedoch. Wenn man den Griff in anderen Mustern bewegt, wird ein Teil der Energie, die während Teilen des Zyklus in die Federgewichtsbaugruppe fließt, während anderer Teile abgeführt. Nehmen wir als einfaches Beispiel an, man klemmt den Griff einfach bis zu den äußersten Enden der Bewegung mit einer Geschwindigkeit ein, die der Resonanzfrequenz entspricht (äquivalent zu einer Rechteckwelle). Das Bewegen des Griffs von einem Ende zum anderen, sobald das Gewicht das Ende der Bewegung erreicht, erfordert viel mehr Arbeit als das Warten, bis sich das Gewicht zuerst etwas zurückbewegt, aber wenn man den Griff in diesem Moment nicht bewegt, die Feder auf dem Griff wird das Gewicht kämpfen ' s Versuch, zur Mitte zurückzukehren. Trotzdem würde es funktionieren, den Griff deutlich von einer Extremposition zur anderen zu bewegen.

Angenommen, das Gewicht braucht eine Sekunde, um von links nach rechts zu schwingen, und eine weitere Sekunde, um zurück zu schwingen. Überlegen Sie nun, was passiert, wenn einer den Griff von einem Extrem in das andere bewegt, aber auf jeder Seite drei Sekunden statt einer Sekunde verweilt. Jedes Mal, wenn der Griff von einem Extrem zum anderen bewegt wird, haben das Gewicht und die Feder im Wesentlichen die gleiche Position und Geschwindigkeit wie vor zwei Sekunden. Infolgedessen wird ihnen ungefähr so ​​viel Energie hinzugefügt, wie sie zwei Sekunden zuvor hatten. Auf der anderen Seite werden solche Energiezusätze nur ein Drittel so oft vorkommen, wie es der Fall gewesen wäre, wenn die "Verweilzeit" nur eine Sekunde gewesen wäre. Somit, Durch Hin- und Herbewegen des Griffs mit 1 / 6Hz wird dem Gewicht ein Drittel so viel Energie pro Minute (Leistung) hinzugefügt, wie durch Hin- und Herbewegen mit 1 / 2Hz. Ähnliches passiert, wenn man den Griff bei 1 / 10Hz hin und her bewegt, aber da die Bewegungen 1/5 so oft sind wie bei 1 / 2Hz, beträgt die Leistung 1/5.

Angenommen, die Verweilzeit ist nicht ein ungerades Vielfaches, sondern ein gerades Vielfaches (z. B. zwei Sekunden). In diesem Szenario stimmen die Position des Gewichts und der Feder für jede Bewegung von links nach rechts mit der Position bei der nächsten Bewegung von rechts nach links überein. Wenn der Griff der Feder in der ersteren Energie hinzufügt, wird diese Energie folglich im Wesentlichen von der letzteren aufgehoben. Folglich bewegt sich die Feder nicht.

Wenn man mit dem Griff keine extremen Bewegungen ausführt, sondern ihn ruhiger bewegt, kann es bei niedrigeren Frequenzen der Griffbewegung öfter vorkommen, dass man gegen die Bewegung der Gewichts- / Feder-Kombination kämpft. Bewegt man den Griff in einem Sinuswellenmuster, jedoch mit einer Frequenz, die sich wesentlich von der Resonanzfrequenz des Systems unterscheidet, wird die Energie, die man beim Drücken des "richtigen" Weges in das System überträgt, durch die aufgenommene Energie ziemlich gut ausgeglichen aus dem System schieben den "falschen" Weg. Andere Bewegungsmuster, die nicht so extrem sind wie die Rechteckwelle, übertragen zumindest bei einigen Frequenzen mehr Energie in das System als herausgenommen wird.

Eine noch einfachere Analogie besteht darin, sich ein Trampolin vorzustellen.

Das Elektrifizieren eines Leiters entspricht dem Strecken der Trampolinmembran, wobei die mit diesem Draht verbundenen Energiefelder gedehnt (verzerrt) werden.

Stelle dich in die Mitte des Trampolins, greife nach unten und greife nach der Membran des Trampolinbodens. Stehen Sie jetzt auf und ziehen / strecken Sie es nach oben, so dass sich eine Spitze über der Höhe Ihrer Taille befindet.

Dies hat natürlich den Effekt, dass etwas Energie in der Membran gespeichert wird.

jetzt, wenn Sie es einfach loslassen, wird es nicht einfach sanft nach unten schweben und aufhören, sich zu bewegen. es wird schnell ausfallen und dann VIBRIEREN ... mehrmals 'von selbst' hin und her pendeln ... während es seine gespeicherte Energie verbraucht.

Wenn Sie ihn stattdessen nach und nach wieder absenken, kann er nirgendwo gewaltsam einrasten, und nichts bewirkt, dass er "von selbst" vibriert. Das einzige Vibrieren ist, dass du es bewegst.

Alle Frequenzen (jeder Wellenform) haben mathematische Harmonische. Wellenformen mit plötzlichen Potentialänderungen bieten eine einfachere Möglichkeit, diese Harmonischen als Schwingungen der realen Welt auszudrücken.

Nur eine Ergänzung zu dieser Frage,

Sind diese Oberschwingungen beispielsweise für die Datenübertragung (hoch = 1, niedrig = 0) irrelevant und spielen nur in Situationen wie Audio oder HF eine Rolle?

dass ich denke, niemand hat gesagt: Es ist nicht irrelevant. Normalerweise sind wir daran interessiert, Impulse in digitalen Schaltkreisen zu senden, daher berücksichtigen wir diese Wellenphänomenologie in den meisten Fällen nicht. Dies liegt daran, dass, obwohl die Rechteckwelle ihre Harmonischen hat (nicht unendlich viele Harmonische in der realen Welt), es einige Zeit dauern wird, bis sie ansteigt / fällt, Ihr Schaltungsdesign sich dessen normalerweise "bewusst" ist. Dies ist einer der größten Vorteile digitaler Elektronik / digitaler Kommunikation: Ab einem bestimmten Punkt (Spannung) wird das Signal als 1 interpretiert und ab einem bestimmten Punkt als 0. In den meisten Fällen spielt das genaue Format keine Rolle der Rechteckwelle, da es bestimmte Zeitspezifikationen erfüllt.

Beachten Sie jedoch, dass Sie diese Wellenphänomenologie berücksichtigen können, wenn Ihre Rechtecksignalfrequenz bis zu einem Punkt ansteigt, an dem die Wellenlänge ungefähr in der Größenordnung ihrer Übertragungsleitung liegt (möglicherweise eine Leiterbahn einer Leiterplatte). Sie haben immer noch einen Stromkreis in der Hand, es können jedoch einige Wellenphänomene auftreten. Abhängig von Ihrer "Leitungs" -Impedanz können einige Frequenzen eine andere Ausbreitungsgeschwindigkeit als andere Frequenzen haben. Da die Rechteckwelle aus vielen Harmonischen (oder im Idealfall unendlich) besteht, wird sich am Ende Ihrer Übertragungsleitung oder leitenden Spur wahrscheinlich eine verzerrte Rechteckwelle befinden (da sich jede Harmonische mit unterschiedlicher Geschwindigkeit fortbewegt).

Ein gutes Beispiel dafür ist die Verwendung der USB-Datenübertragung in einer Schaltung. Beachten Sie, dass die Datenrate sehr hoch ist (hochfrequente Rechteckwellen), sodass Sie die Impedanz Ihrer Übertragungsleitung berücksichtigen müssen. Andernfalls haben Sie wahrscheinlich Probleme bei der Kommunikation.

Kurz gesagt, alles spielt eine Rolle und es funktioniert alles zusammen, aber es liegt an Ihnen, zu analysieren, ob diese Dinge für Ihr Projekt / Ihre Analyse wichtig sind oder nicht.