Spannungs- und Stromberechnungen, Widerstand und Induktivität parallel

Ich versuche ein Problem in einem Buch zu lösen, das wie folgt lautet:

Ein 100mH Induktor in paralel mit einem angeschlossenen 2k Ohm - Widerstand. Der Strom durch die Induktivität ist gegeben durch:

Berechnen:

a) Wie hoch ist die Spannung am Induktor Vl (t)?

b) Wie hoch ist die Spannung am Widerstand Vr (t)?

c) Ist Vl + Vr = 0?

Das sind alle Daten, die angegeben werden, es wird keine Spannungs- oder Stromquelle erwähnt, also dachte ich, dass ein Induktor parallel zu einem Widerstand in einer solchen Konfiguration dies wäre:

^{simulieren Sie diese Schaltung - Schema erstellt mit CircuitLab}

In diesem Fall sind sie tatsächlich in Reihe geschaltet, daher sollte der Strom der Induktivität durch den Widerstand der gleiche Strom sein.

Also: il (t) = ir (t)

Jetzt berechne ich die Spannung am Induktor:

Und die Spannung am Widerstand nach dem Ohmschen Gesetz:

Das Problem ist, dass nach Kirchhoffs Gesetz Vl + Vr Null sein sollte und dies eindeutig nicht der Fall ist. Es ist jedoch wahr, dass Vl + Vr im Laufe der Zeit aufgrund der Exponentialfunktion (Zeit (t) gegen unendlich) gegen Null tendiert.

Was mich beunruhigt ist, dass das Kirchhoffs-Gesetz nicht für kurze Zeitwerte wie t = 1 oder t = 2 usw. gilt.

Was mache ich falsch? Was geht hier vor sich?

Es sagt Ihnen einfach, dass die gezeichnete Schaltung niemals den gegebenen Strom durchlaufen wird.

Stellen Sie sich folgende Situation vor: Ersetzen Sie die Induktivität durch einen Kondensator (die Kondensatorentladung ist Ihnen möglicherweise besser bekannt) und die Stromfunktion durch

$$I(t) = t$$

Berechnen Sie jetzt die Spannungen - sie summieren sich nicht. Warum? Weil die aktuelle Funktion keinen Sinn macht. Der vollständige Entladevorgang eines Kondensators durch einen Widerstand wird vollständig durch die Kapazität, den Widerstand und die Spannung über ihm zum Zeitpunkt definiert$t = 0$.

In ähnlicher Weise wird das "Entladen" eines Induktors durch einen Widerstand vollständig durch die Induktivität, den Widerstand und den Strom durch ihn zum Zeitpunkt bestimmt $t = 0$.

Wenn Sie jetzt eine zeitabhängige aktuelle Funktion erhalten, spezifizieren Sie das System zu stark. Diese Funktion mag richtig sein, aber (wie in Ihrer Frage) kann sie für die gegebene Schaltung falsch sein, so dass Sie zu widersprüchlichen Lösungen gelangen.

Beachten Sie, dass es eine Möglichkeit gibt, die Frage / Funktion / Werte so zu halten, wie sie jetzt sind, und sie wieder konsistent zu machen, indem Sie der Schaltung eine ideale Stromquelle hinzufügen, die die gegebene Stromfunktion erfüllt. Die seltsame Spannung, die Sie nicht erklären konnten, wird dann einfach über diese Stromquelle gefunden:

^{simulieren Sie diese Schaltung - Schema erstellt mit CircuitLab}

Alternativ können Sie einfach davon ausgehen, dass die aktuelle Funktion tatsächlich richtig ist $t=0$, das ist, $I_0 = 50$. Der Entladestrom einer Induktivität durch einen Widerstand beträgt

$$I(t) = I_0e^{-\frac{R}{L}t}$$ , also ist die richtige Stromfunktion für die Schaltung, wie in Ihrer Frage gezeigt, $$I(t) = 50e^{-20000t}$$ . Führen Sie Ihre Spannungsberechnungen erneut durch - sie funktionieren jetzt.

Gehen wir dies von den ersten Prinzipien aus an.

Die Spannung zwischen Induktor und Widerstand ist identisch und es gibt nur einen Strom i :

$v_L = v_R \rightarrow L \dfrac{di(t)}{dt} = R i(t)$

$\rightarrow \dfrac{di(t)}{dt} + \dfrac{R}{L}i(t) = 0$

Die Lösung für diese Differentialgleichung lautet:

$i(t) = i_0 e^{-t/\tau}$, $\tau = L/R$

Aber nach Ihrem Schaltplan (sind die Werte korrekt?)

$L/R = 50 \mu s$

damit

$i(t) = i_0 e^{-20,000 t}$

Also das Gegebene $i(t)$ ist keine mögliche Lösung für die Schaltung mit den angegebenen Werten.