Mathematischer Beweis, dass die Effektivspannung mal der Effektivstrom die mittlere Leistung ergibt

Ich weiß, dass dies wahr ist, weil ich es in einer seriösen Quelle gelesen habe. Ich verstehe auch intuitiv, dass die Leistung für eine ohmsche Last proportional zum Quadrat der Spannung oder des Stroms ist und dass das "S" in RMS für "Quadrat" steht. Ich suche einen harten mathematischen Beweis.

Lassen die aktuelle zum Zeitpunkt bezeichnen i und ebenfalls V i zu diesem Zeitpunkt die Spannung bezeichnet. Wenn wir zu allen Zeitpunkten Spannung und Strom messen können und es n Zeitpunkte gibt, dann ist die mittlere Scheinleistung:$I_i$$i$$V_i$$n$

$$P = \frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$$

Was ist ein eleganter mathematischer Beweis dafür?

$$P = I_{RMS} V_{RMS}$$

erzielt das gleiche Ergebnis für ohmsche Lasten?

Ohmsches Gesetz

$$1: V(t) = I(t)R$$

Die momentane Verlustleistung ist das Produkt aus Spannung und Strom

$$2: P(t) = V(t)I(t)\\ $$

Ersetzen Sie 1 durch 2, um eine momentane Leistung durch einen Widerstand in Bezug auf Spannung oder Strom zu erhalten:

$$3: P(t) = I^2(t)R = \frac{V^2(t)}{R}\\ $$

$$4: P_{avg}=\frac{\int_0^T{P(t)dt}}{T}=\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}\\ $$

$$5: I_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}}\\ $$ $$6: I_{RMS}^2 =\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}\\ $$ $$7: I_{RMS}^2R =\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=P_{avg}\\ $$ $$8: V_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}}\\ $$ $$9: V_{RMS}^2=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}\\ $$ $$10: \frac{V_{RMS}^2}{R}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}=P_{avg}\\ $$ $$11: P_{avg}^2=V_{RMS}^2I_{RMS}^2\\ $$ $$12: P_{avg} = V_{RMS}I_{RMS}\\ $$ QED

Der sehr einfache Beweis (im diskreten Stichprobenfall in der Frage) ist die Substitution von I durch E / R in der RMS-Gleichung

$$x_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac1n(x_1^2+x_2^2+x+\cdots+x_n^2)}.$$

und sehr einfache Algebra.

Und ja, dies ist wahr, weil angegeben ist, dass wir eine rein ohmsche Last haben, so dass kein Phasenwinkelproblem und keine Harmonische in I vorhanden sind, die nicht auch in E vorhanden ist.

BEARBEITEN

$$x_{\mathrm{rms}} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \right) }$$

$$V_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$$

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( I_1^2 + I_2^2 + \cdots + I_n^2 \right) }$$

$$I_i = V_i/R$$

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( (V_1/R)^2 + (V_2/R)^2 + \cdots + (V_n/R)^2 \right) }$$

dann:

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2/R^2 + V_2^2/R^2 + \cdots + V_n^2/R^2 \right) }$$

1 / R ^ 2 herausziehen

$$I_{RMS} = \frac{1}{R}\sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$$

so:

$$V_{RMS} * I_{RMS}$$

$$1/R( \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right))$$

Verteilen des 1 / R:

$$( \frac{1}{n} \left( V_1^2/R + V_2^2/R + \cdots + V_n^2/R \right))$$

Verwenden Sie erneut die Ohmsche Gesetzesersetzung:

$$( \frac{1}{n} \left( V_1I_1 + V_2I_2 + \cdots + V_nI_n \right))$$

welches ist:

$$\frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$$

Der Schlüssel ist, dass für eine ohmsche Last die Spannung und der Strom in Phase sind.

$\sin(t)$$\sin^2(t) = 1/2 + 1/2 \sin(2t)$$1/2$$\sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \approx 0.707$

$1/2$$\sqrt{2}/2$$\sqrt{2}/2$

$\cos(t)$$\sin(t)$$\sin(t)\cos(t) = 1/2 \sin(2t)$$1/2$

Um die Frage zu beantworten, werden die Effektivspannung und der Effektivstrom basierend auf der mittleren Leistung definiert: Jede wird aus der Quadratwurzel der mittleren Leistung abgeleitet. Durch Multiplizieren von zwei Werten, die aus der Quadratwurzel der mittleren Leistung erhalten werden, wird die mittlere Leistung wiederhergestellt.

Vereinfachen wir dieses Problem ohne Mathematik. Nehmen Sie diese einfache Schaltung, die eine Rechteckwellenform mit einer Periode von 10 Sekunden erzeugt.

Die Spannung ist so

und aktuell ist

Dann wird die Leistungswellenform sein

Wenn der Schalter geöffnet ist, wird der Widerstand nicht mit Strom versorgt, sodass die Gesamtenergie 10 Watt x 5 Sekunden = 50 Joule beträgt. Dies entspricht der Leistung von 5 Watt in 10 Sekunden

und das ist die durchschnittliche Leistung. Die durchschnittliche Spannung beträgt 5 Volt und der durchschnittliche Strom beträgt 0,5 Ampere. Bei einfacher Berechnung ergibt die durchschnittliche Leistung 2,5 Watt oder 25 Joule, was nicht stimmt.

Machen wir diesen Trick mit DIESER BESTELLUNG:

1. Quadrieren Sie zuerst die Spannung (und den Strom)

2. Zweitens nehmen Sie den Durchschnitt des Quadrats

3. Nehmen Sie dann die Quadratwurzel des Durchschnitts

Das Quadrat der Spannungswellenform ist

Und der Durchschnitt liegt bei 50 V ^ 2 (nicht 50 ^ 2 Volt). Ab diesem Punkt vergessen Sie die Wellenform. Nur Werte. Die Quadratwurzel des obigen Werts ist 7.071… Volt RMS. Wenn Sie dasselbe mit dem Strom tun, werden 0,7071 .. A RMS gefunden. Die durchschnittliche Leistung beträgt 7,071 V x 0,7071 A = 5 Watt

Wenn Sie versuchen, dasselbe mit RMS-Leistung zu tun, ergibt sich ein Mittelwert von 7.071 Watt.

Die einzige äquivalente Heizleistung ist also die durchschnittliche Leistung, und die einzige Möglichkeit zur Berechnung besteht darin, die Effektivwerte von Spannung und Strom zu verwenden