Warum nicht dimensionale Koeffizienten verwenden?

Lehrbücher für Luft- und Raumfahrttechnik verwenden häufig nicht-dimensionale Koeffizienten wie , und eine ganze Reihe anderer. Normalerweise wird es für Bewegungsgleichungen bevorzugt, Variablen durch nicht dimensionale Koeffizienten zu ersetzen. Grundsätzlich verstehe ich jedoch nicht warum.$C_L$$C_D$

Ich habe zwei Fragen:

1. Warum machen wir Flugzeugparameter nicht dimensional ( bis , bis )?$L$$C_L$$M$$C_m$

   Eine häufig gehörte Antwort ist, dass Sie die Koeffizienten benötigen, um verschiedene Flugzeuge vergleichen zu können. und hängen wirklich von den Flugzeugabmessungen und den Flugbedingungen ab. Soweit ich weiß, Koeffizienten und jedoch auch von den Flugzeugabmessungen und Flugbedingungen ab! Wo ist die inhärente Überlegenheit des einen gegenüber dem anderen?$L$$D$$C_L$$C_D$

2. Macht die Nichtdimensionalisierung den Koeffizienten unabhängig von irgendetwas (Gewicht, Flugzeugabmessungen, dynamischer Druck, Machzahl usw.)?

   Einige Lehrbücher geben an, dass nicht-dimensionale Koeffizienten unabhängig von Gewicht und Flugzeugabmessungen sind, geben jedoch kein Argument dafür, warum dies der Fall sein sollte.

Die Dimensionsanalyse (nicht-dimensionale Koeffizienten) bietet nach Frank M. White, Fluid Mechanics , 2nd Ed. Meine Antwort wird aus dieser Quelle stark umschrieben.

1. Sie ermöglichen es Wissenschaftlern / Ingenieuren, die Anzahl der Experimente zu reduzieren, die zur Erforschung eines bestimmten Phänomens erforderlich sind.
2. Sie bieten Skalierungsgesetze, mit denen Experimente an kleinen, billigen Modellen durchgeführt werden können, die dann auf Anwendungen in voller Größe erweitert werden können.

Reduzierung der Anzahl der Experimente

Wenn wir ein Experiment entwerfen wollten, um die Kraft auf einen Zylinder zu messen, der in eine sich bewegende Flüssigkeit eingetaucht ist, und wir wussten, dass dies von den folgenden Parametern abhängt:

$$F = f(L, V, \rho, \mu)$$ Wenn wir dann das Phänomen richtig identifizieren wollen, müssten wir einen ziemlich großen Parameterraum untersuchen. Sie möchten in der Lage sein, eine Kurve an die Daten anzupassen, für die mindestens 10 Datenpunkte für jede Variable erforderlich sind. Wir müssten also ein Experiment mit 10 Werten von entwerfen$L$und für jeden Wert von $L$ Wir hätten auch 10 Werte von $V$und für jeden Wert von $V$ 10 Werte von $\rho$... und so weiter. Dies wäre zeitaufwändig und teuer. Die Gleichung kann jedoch mithilfe der Dimensionsanalyse reduziert werden, um Folgendes zu erhalten: $$\frac{F}{\rho V^2 L^2} = g\left( \frac{\rho VL}{\mu}\right)$$ $$C_F = g\left( Re\right)$$ Wo $C_F$ist der dimensionslose Kraftkoeffizient und$Re$ist die Reynolds-Zahl . Jetzt müssen wir nur noch ungefähr 10 Werte von untersuchen$Re$um eine grundlegende Charakterisierung des Phänomens zu erhalten. Dies ist ein stark vereinfachtes Beispiel (Fluidkräfte haben mehr zu bieten als die Reynolds-Zahl ), dient jedoch zur Veranschaulichung des Punktes.

Darüber hinaus können wir nicht-dimensionale Koeffizienten verwenden, um verschiedene Geometrien zu vergleichen. Betrachten Sie zum Beispiel die Reynolds-Zahl . Die Reynolds-Zahl kann für viele Geometrien (innerhalb eines Rohrs, auf einem Flugzeugflügel, um den Körper eines U-Bootes herum), unterschiedliche Strömungsbedingungen (interne oder externe Strömung) und verschiedene Maßstäbe berechnet werden, kann jedoch wichtige Informationen über die liefern Art der Strömung (laminar vs. turbulent vs. Übergang).

Skalierungsgesetze

Nichtdimensionale Koeffizienten sind ebenfalls nützlich, da sie einen einfachen Vergleich zwischen technischen Fällen in verschiedenen Maßstäben ermöglichen. Sie ermöglichen es uns, eine Ähnlichkeitsbedingung zwischen einem Modell und einem vollständigen Prototyp herzustellen.

Aufgrund dieser Eigenschaft (Unabhängigkeit vom Maßstab) werden nicht-dimensionale Koeffizienten verwendet, um Skalenmodelltests zu entwerfen. Wenn Sie ein 1:10 Modell eines Flugzeugs herstellen und es in einen Windkanal stellen, könnte der Laie denken, Sie würden die Entwurfsluftgeschwindigkeit nur um denselben Faktor skalieren (und sie wären falsch). Wenn Sie ein RC-Modellflugzeug entwerfen möchten, können Sie eine Boeing 747 nicht einfach verkleinern und fliegen lassen! Hier ist ein Wikipedia-Artikel zu diesem Thema.

Verwenden der Beispielfunktion $f$Wie oben angegeben, können wir eine sogenannte Ähnlichkeit erreichen, wenn die Reynolds-Zahlen eines Modells und eines Prototyps in voller Größe gleich sind.

Wenn $Re_m = Re_p$ dann $C_{Fm} = C_{Fp}$

Unter Verwendung der Definition des Kraftkoeffizienten von zuvor erhalten wir das folgende Skalierungsgesetz:

$$\frac{F_p}{F_m} = \frac{\rho_p}{\rho_m}\left(\frac{V_p}{V_m}\right)^2\left( \frac{L_p}{L_m}\right)^2$$

Wenn Sie also ein Modell im Maßstab 1:10 herstellen würden, $L_p/L_m = 10$. Angenommen, die Geschwindigkeit der Flüssigkeit$V$ und die Dichte der Flüssigkeit $\rho$ Sind beide identisch, so sieht der Prototyp unter diesen Bedingungen die 100-fache Kraft im Vergleich zum Modell.

Das qualitative Verhalten eines physikalischen Systems hängt häufig von der relativen Größe von zwei (oder mehr) verschiedenen Effekten ab. Beispielsweise neigen Turbulenzen in der Fluidströmung dazu, sich zu entwickeln, wenn die Kraft zum Beschleunigen des Fluids (dh seine Trägheit) im Vergleich zu den viskosen Kräften in der Strömung groß ist. In der entgegengesetzten Situation, in der die Trägheitskräfte im Verhältnis zu den viskosen Kräften gering sind, neigt die Strömung dazu, laminar zu bleiben.

Es gibt eine ähnliche Situation bei Wärmeübertragungsproblemen, abhängig von der Wärmemenge, die durch Konvektion in der Flüssigkeit übertragen wird (was von der sich physikalisch bewegenden Flüssigkeit abhängt), verglichen mit der Menge, die durch Wärmeleitung bewegt wird (die nicht von der Flüssigkeitsbewegung abhängt ).

Wenn wir eine einfache, aber "vernünftige" Methode erfinden, um diese unterschiedlichen Effekte zu messen, ist das Verhältnis der beiden Maße eine nicht dimensionale Zahl. Für das Reynolds-Zahlenbeispiel ist eine vernünftige Methode zur Messung der Trägheitskräfte einfach die Masse$\times$Beschleunigung eines Elements der Flüssigkeit, dh $\rho L^3 v/t$ wo $\rho$ ist die Dichte, $L$ ist eine "durchschnittliche" Abmessung des Fluidelements, $v$ ist die Geschwindigkeit und $t$ eine typische Zeitskala im Fluss.

Ebenso ist eine vernünftige Methode zur Messung der viskosen Kräfte $\mu(v/L)L^2$, wo $\mu$ ist die dynamische Viskosität, $v/L$ stellt den Geschwindigkeitsgradienten dar, der die viskosen Kräfte erzeugt, und $L^2$ ist die Querschnittsfläche des Fluidelements.

Das Teilen eines Taktes durch den anderen ergibt

$$\frac{\rho\, (L/t)\, L}{\mu}$$ oder (seit $L/t$ misst eine Art Geschwindigkeit - zum Beispiel die mittlere Strömungsgeschwindigkeit durch das Rohr) $$\text{Re} = \frac{\rho v L}{\mu}$$ wobei Re = Reynolds 'Nummer.

Für eine bestimmte Situation wie die Strömung durch ein Rohr erfolgt der Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung typischerweise, wenn es um Re geht $3000$, wenn wir nehmen $L$ um den Durchmesser des Rohres zu bedeuten.

Dies ist nützlich, da das Ergebnis in einer Vielzahl von Strömungssituationen wahr ist . Es spielt keine Rolle, ob es sich um Niederdruckgas handelt, das durch eine strömt$0.1\,\text{mm}$ Durchmesser Kapillarrohr in einem Vakuumpumpsystem oder Rohöl, das durch a gepumpt wird $1.2\,\text{m}$ Langstreckenrohrleitung mit Durchmesser - Stecken Sie einfach die relevanten Materialeigenschaften, den Durchmesser und die Strömungsgeschwindigkeit ein, um Re zu finden. Bei gleichem Wert von Re ist das Strömungsmuster grundsätzlich gleich.

Der Grund für die Verwendung nichtdimensionaler Koeffizienten besteht darin, die verschiedenen möglichen Fälle, die untersucht werden müssen, manipulieren zu können.

Zum Beispiel, um das real skalierte Flugzeug mit einem skalierten Prototypmodell vergleichen zu können. Dies ist äußerst nützlich, da Unternehmen und Forscher auf einfache Weise alle Tests an Prototypen durchführen und verschiedene mögliche Szenarien bewerten können, die im wirklichen Leben auftreten können.

Auf diese Weise reduzieren diese Unternehmen oder Forscher die Anzahl der zu Testzwecken skalierten Flugzeuge im realen Leben auf möglicherweise Null und gehen direkt zur Fertigung (im Idealfall).

Wie in diesem Link erwähnt :

"Die Bedeutung von Experimenten in der Strömungsmechanik bedarf keiner zusätzlichen Betonung. Experimente sind erforderlich für die Konstruktion und Prüfung von Fahrzeugen wie Flugzeugen, Schiffen und Automobilen, Pumpen, Turbinen, Lüftern und anderen Geräten. Wir haben auch Experimente, die von diesem Punkt aus durchgeführt werden Es ist unnötig zu erwähnen, dass die Experimente methodisch geplant und durchgeführt werden müssen, um eine Strömung und grundlegende Phänomene wie Turbulenzen zu verstehen.

Die Frage, die wir uns stellen müssen, lautet: "Welche Parameter sind an dem gegebenen Fluss beteiligt? Welche relative Bedeutung haben sie?" Dies sind einige der Fragen, vor denen ein Experiment steht. Gleichzeitig erfordert die prägnante Darstellung der Ergebnisse auch Nachdenken und Planung. Ein gedankenloses Experiment (oder eine moderne Berechnung) wird eine große Anzahl von Zahlen erzeugen. Es kann schwierig sein, sie zu interpretieren. Eine durchdachte Präsentation hilft, sie übersichtlich und verständlich darzustellen. Hier hilft uns die Dimensionsanalyse. "