Mindestdicken eines elliptischen Zylinderdruckbehälters

Zum Druckbehälter in Form von Kreiszylindern können wir $ \ sigma_ {hoop} = \ frac {pr} {t} $ verwenden, um die minimale Hautdicke zu ermitteln, indem Sie den maximal zulässigen Wert für den Rahmen einstellen und dann nach t auflösen. Aber was ist mit (die kompliziertere) elliptische Zylinder ?

Da haben Ellipsen eine semi-major-Achse und semi-minor-Achse (Im Gegensatz zu Kreisen mit nur einem einzigen Radius) liegt es nahe, dass ein elliptisch zylindrischer Druckbehälter zwei minimale Dicken (anstatt nur eines) hätte. Ist das richtig? Wenn ja, wie soll man sie finden?

HINWEIS ZU OBROUND-SCHIFFEN

Obwohl es keine direkte Antwort auf Ihre Frage ist, sollte dies schnell bemerkt werden ASME BPVC Abschnitt VIII, Obligatorische Anlage 13, Abschnitt 10 hat einen Abschnitt zur Gestaltung von umlaufenden Behältern (kreisförmige Halbschnitte mit ebenen Plattenwänden, siehe Abbildung unten).

Diese sind zwar nicht gleich, können jedoch normalerweise die verfügbare Fläche im Vergleich zu elliptischen Gefäßen (für eine gegebene Abmessung A und B) optimieren. Als solche sind diese fast immer die bevorzugte Gestaltungswahl im Vergleich zu elliptischen und im Handel erhältlichen. Die Gleichungen sind bei der Handhabung einer Membranspannungsdiskontinuität einfacher.

Basis für die Annahme der dünnen Wand

Wir können leicht eine dünnwandige Version davon ableiten. Es kann bemerkt werden, dass die oben gezeigte Ellipse als alle Punkte ausgedrückt werden kann $$ (\ frac {b} {2} \ cos (\ phi), \ frac {a} {2} \ sin (\ phi)) $$ mit einem Parameter $ \ phi $, der von $ 0 $ bis $ 2 \ pi $ variiert. Beachten Sie, dass dies nicht der Winkel vom Mittelpunkt $ \ theta $ ist, sondern durch die Beziehung mit diesem Winkel in Beziehung steht $$ \ tan (\ theta) = \ frac {b} {a} \ tan (\ phi) $$ Bei gegebenem $ \ phi $ ist die Belastung in einem dünnwandigen Gefäß leicht zu erkennen. Ähnlich wie bei einem kreisförmigen Gefäß führen wir einen Querschnitt an einem bestimmten Punkt zu einem Zentrum durch. Bei einer ähnlichen Dünnwandannäherung wie bei zylindrischen Behältern nehmen wir an, dass die tangentiale (Membran-) Spannung über diesen Schnitt einer Dicke $ t $ gleichmäßig ist. Wir gehen davon aus, dass dies unabhängig von $ \ phi $ als $ t & lt; & lt; a; t & lt; & lt; b $. Der Abstand $ D (\ phi) $ ist eine Funktion, die auf $ \ phi $ basiert, und zwar von der Kante durch die Mitte zur anderen Kante $$ D (\ phi) = \ sqrt {b ^ 2 \ cos ^ 2 (\ phi) + a ^ 2 \ sin ^ 2 (\ phi)} $$. Da die Wand mit einem Druck $ P $ gleichmäßig über diesen Schnitt geschoben wird, ist klar, dass ähnlich wie bei Kreisen für die Last pro Längeneinheit gilt:

$$ PD (\ phi) = 2t \ sigma (\ phi) $$.
$$ \ sigma_t (\ phi) = \ frac {PD (\ phi)} {2t} $$.

Konstanter Umfang vorausgesetzt

Es ist zu beachten, dass Spannungskonzentrationen definitiv auftreten werden, da das Gefäß eine zylindrische Form annehmen möchte. Wenn Sie einen Schnitt durch die X- und Y-Achse ausführen und eine Statikanalyse dieses Abschnitts durchführen, stellen wir fest, dass eine viel kleinere Tangentialspannung von einer Achse als von der anderen kommt. Die ungleichmäßige Dehnung verursacht sicherlich Biegemomente im Material mit dünner Wand.

Ohne eine Dickwandanalyse können diese Spannungskonzentrationen nicht genau bestimmt werden. Für diese Vermutung dünner Wände gehen wir einfach davon aus, dass der Umfang vor und nach der Durchbiegung ungefähr gleich bleibt. Der Umfang einer Ellipse wird unter Verwendung von elliptischen Integralen bestimmt. Definieren: $$ k ^ 2 = 1- \ frac {a ^ 2} {b ^ 2} $$

Dann ist der Umfang für die Ellipse $ 2bE (k) $, wobei $ E $ das elliptische Integral der zweiten Art ist. Wir stellen fest, dass $ k $ eine Funktion von $ b $ ist. Wenn wir die Ableitung davon in Bezug auf $ b $ und viel Mathe nehmen, finden wir das schöne Ergebnis, das:

$$ \ frac {E (k)} {F (k)} = \ frac {a ^ 2} {b ^ 2} $$

Wir nähern uns $ E (k) $ und $ F (k) $, dem elliptischen Integral der ersten Art, als Konstante für kleine Änderungen in $ k $ aufgrund von Änderungen in $ a $ und $ b $. Für eine kleine Kontraktion von $ b $, $ \ Delta b $ finden wir eine Erweiterung von $ a $, $ \ Delta a $ wie folgt:

$$ \ Delta a = - \ frac {b ^ 3} {a ^ 3} \ Delta b $$

Die kubische Beziehung impliziert, dass hochexzentrische Ellipsen schnell von der elliptischen Form in eine zylindrische Form einrasten! Somit werden die obigen Annäherungen schnell ungültig. Das Negative, das die Expansion impliziert, ist der Kontraktion entgegengesetzt. Mit diesen Informationen können wir versuchen, die Spannungskonzentrationen in vernünftiger Näherung aufzulösen. Die "radiale" Spannung aus statischer Sicht zeigt an, dass sie ein lineares radiales Wachstum haben sollte, während die Umfangsanalyse ein kubisches radiales Wachstum zeigt. Diese Durchbiegung würde sich als Kraft präsentieren und eine Biegekonzentration an den Spitzen der Kante b (ungünstigster Fall) von ungefähr hinzufügen:

$$ M = \ frac {Pb ^ 2 (b ^ 2-a ^ 2)} {4a ^ 2} $$ $$ \ sigma_b = \ frac {3Pb ^ 2 (b ^ 2-a ^ 2)} {2t ^ 2a ^ 2} $$

Dieser Stress hätte $ b $ mit $ a $ für die andere Achse getauscht, um die zwei maximalen Spannungen im Schiff zu erhalten. Beachten Sie, dass die ursprüngliche Tangentialspannung der Biegespannung hinzugefügt werden muss. Somit wäre die Gesamtspannung auf der langen Achse:

$$ \ sigma_b = \ frac {3Pb ^ 2 (b ^ 2-a ^ 2)} {2t ^ 2a ^ 2} + \ frac {Pb} {2t} $$

Addieren Sie zusammen mit der axialen Spannung Ihrer Fall-zu-Fall-Analyse (kompliziert, könnte aber als vernünftig angesehen werden, indem Sie die Fläche einer elliptischen Kappe durch den ungewöhnlichen Umfang einer Ellipse teilen). Mises Stress. Dies würde in Abhängigkeit von der Dicke auf den Maximalwert gesetzt, und die Minimaldicke wäre das Ergebnis, das es der Von-Mises-Spannung ermöglicht, den Maximalwert zu erreichen. Dieser Teil wird im Allgemeinen bei der Konstruktion von Druckbehältern verwendet, da die Belastung durch Umwelteinflüsse mehr Stress verursacht, als von der Gleichung angenommen wird.

Ich würde einige Tests durchführen, um das zu überprüfen, aber das ist meine Schlussfolgerung als PE seit 8 Jahren. Andere können dem widersprechen, wenn sie es für richtig halten, und ich wäre zufrieden mit einer besseren Analyse, die bessere Arbeit zeigt.

Hinweise zum Dickwandgefäß

Ich habe eine dickwandige Version versucht, aber es wurde schnell klar, dass ich mehr Zeit investieren musste, als ich mir widmen konnte. Beachten Sie, dass Sie dies nicht verlangt haben - und da Ihre Frage und Gleichung sich auf das dünnwandige Gehäuse bezog, sah ich keinen Grund, voranzukommen. Einige Hinweise, wenn Sie mit elliptischen Integralen vertraut sind:

1. Die Praktikabilität ist immer noch ein Problem - obround funktioniert auch in dickwandigen Gehäusen gut.

2. Quellen sind für andere Arbeiten schwer zugänglich - Roark war ebenso leer wie ASME-Code. Daher verzichte ich erneut darauf, die beste Konstruktionsmethode für alle praktischen Anwendungen zu finden.

Sie können einen Finite-Elemente-Code verwenden, um die Spannungsverteilung in der Wand zu simulieren. Die Simulation elastischer Probleme unter Druck ist für das Modell einfach und Sie haben den Vorteil, dass Sie die Spannungsverteilung in 2 oder 3 Dimensionen im Gegensatz zu den anderen genannten Methoden erhalten.

Ich würde sagen, dass die Berechnung der Dicke mit der geringsten Belastung die beste Dicke für den gesamten Behälter wäre. Die Konstruktion eines Containers mit variabler Dicke ist mit höheren Kosten verbunden und es ist schwierig, die Spezifikationen konsequent herzustellen.