Wie verwende ich FEM, um die Torsionskonstante einer beliebigen Form abzuleiten?

In dieser Frage frage ich, wie man eine Ableitung der Torsionskonstante eines Abschnitts nach dem ersten Prinzip durchführt. Es scheint, dass es keine solche analytische Ableitung für die Torsionskonstante gibt, daher lautet meine Frage: Was ist mit der FEM-Ableitung für die Torsionskonstante eines beliebigen Abschnitts mit beliebigen Formen?

Beachten Sie, dass ich nicht daran interessiert bin, nur ein FEM-Paket zu verwenden, ohne das Grundprinzip wirklich zu verstehen. Ich möchte in der Lage sein, die FEM-Formulierung aus ersten Prinzipien abzuleiten.

Eine Implementierung eines finiten Elements, das zur Berechnung der Torsionskonstante eines beliebigen Formabschnitts verwendet wird, finden Sie hier:

http://www.ce.berkeley.edu/projects/feap/elmt11.f

Ich sehe in der Implementierung keinen anderen Hinweis als einen Kommentar im Quellcode: "St. Venant Torsionsproblemlösung durch Warping und Prandtl-Stressfunktion."

Ich sehe auch keine Referenz auf ihrer Website, hoffe aber, dass die Quelle Ihnen eine Idee geben würde. http://www.ce.berkeley.edu/projects/feap/

Dies ist ein Problem, das normalerweise in Büchern zur Elastizitätstheorie gelöst wird. Die zugrunde liegende Mathematik basiert auf der Lösung der Laplace-PDE.

Wenn Sie eine Google-Suche nach Larry J. Segerlinds Buch "Applied Finite Element Analysis Second Edition" durchführen, erläutert er die Mathematik zur Berechnung von J mithilfe der Prandtl-Spannungsfunktionsmethode (siehe Kap. 8 'Torsion nicht kreisförmiger Abschnitte'). Es gibt eine andere Methode, die unter Verwendung einer Warping-Funktion abgeleitet wird, und die Mathematik ist ähnlich. Die Ableitung mit beiden Methoden erfordert eine ausgefeilte Mathematik. Seien Sie also vorbereitet.

Wenn Sie das Segerlind-Buch nicht finden können, gibt es andere zum Programmieren der Finite-Elemente-Methode, die dasselbe Problem als Illustration verwenden. Es wird auch in der fortgeschritteneren Grenzelementmethode verwendet.