Was ist der Unterschied zwischen dem polaren Trägheitsmoment

Diese Frage ist so grundlegend, dass es mir fast peinlich ist, sie zu stellen, aber sie kam neulich bei der Arbeit auf und fast niemand im Büro konnte mir eine gute Antwort geben. Ich berechnete die Scherspannung in einem Element unter Verwendung der Gleichung und festgestellt, dass für eine Welle mit einem kreisförmigen Querschnitt,JT=IP.$\frac{Tr}{J_T}$$J_T = I_P$

Sowohl als auch J T werden verwendet, um die Fähigkeit eines Objekts zu beschreiben, Torsion zu widerstehen. I P ist definiert als ∫ A ρ 2 d A wobei ρ = der radiale Abstand zu der Achse, um die I P berechnet wird. Aber J T hat keine exakten analytischen Gleichungen und wird größtenteils mit ungefähren Gleichungen berechnet, auf die ich nicht näher eingegangen bin.$I_P$$J_T$$I_P$$\int_{A} \rho^2 dA$$\rho$$I_P$$J_T$

Meine Frage ist also, was ist der Unterschied zwischen dem polaren Trägheitsmoment und der Torsionskonstante J T ? Nicht nur mathematisch, sondern auch praktisch. Von welcher physikalischen oder geometrischen Eigenschaft ist jede eine Darstellung? Warum ist J T so schwer zu berechnen?$I_P$$J_T$$J_T$

$J_T$

$$\phi = \frac{TL}{J_T G}$$ $T$$L$$G$$J_T$

Das polare Trägheitsmoment ist andererseits ein Maß für den Widerstand eines Querschnitts gegen Torsion mit unveränderlichem Querschnitt und ohne signifikante Verformung .

$J_T = I_P$

$J_T \neq I_P$

$J_T$

Eine Möglichkeit zur Berechnung der Torsionskonstante besteht in der Verwendung der Prandtl-Spannungsfunktion (eine andere in der Verwendung von Verzerrungsfunktionen ).

$\Phi$

$$\nabla^2 \Phi = -2 G \theta$$ $\theta$

$\Phi = 0$

$$J_T = 2\int_A \frac{\Phi}{G\theta} dA$$

Beispiel: Stab mit kreisförmigem Querschnitt

$$\Phi = \frac{G\theta}{2} (R^2-r^2)$$ $$J_T = 2\pi\int_0^R (R^2-r^2)rdr = \frac{\pi R^4}{2} = (I_P)_{circle}$$

Beispiel: Stab mit elliptischem Querschnitt

$$\Phi = G\theta\frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)$$ $$J_T = \int_A \frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)dA = \frac{\pi a^3 b^3}{a^2+b^2}$$ $$(I_P)_{ellipse} = \frac{1}{4}\pi a b(a^2+b^2) \neq (J_T)_{ellipse}$$

$J_T < I_P$

Dies ist fast ein Zufall und gilt nur für feste oder hohle kreisförmige Querschnitte. Natürlich Wellen Torsion tragen oft sind kreisförmig, aus Gründen , die unabhängig von der Frage sind!

$r^2 = x^2 + y^2$

$x$$y$

Die Form der Integrale ist genau die gleiche mathematische Form wie für die zweiten Flächenmomente eines kreisförmigen Strahls, was zu dem Ergebnis führt, nach dem Sie gefragt haben.

Dies funktioniert nicht für nicht kreisförmige Abschnitte, da die Spannungsverteilung nicht radialsymmetrisch ist. Wenn Sie beispielsweise die Torsionskonstante und das polare Moment eines durchgezogenen quadratischen Abschnitts vergleichen, werden Sie feststellen, dass die "Konstanten" in den beiden Formeln unterschiedlich sind. Je mehr der Querschnitt von einem Kreis abweicht, desto größer ist der Unterschied.

Die Torsionskonstante für einen komplex geformten Abschnitt (zum Beispiel einen I-Träger) ist schwer zu berechnen, da die Spannungsverteilung über den Abschnitt kompliziert ist und es keine einfache "Formel" dafür gibt, die Sie mathematisch integrieren können. Viele der Torsionsformeln in technischen Handbüchern basieren eher auf vereinfachten Annahmen als auf "exakten" mathematischen Lösungen.

Im wirklichen Leben sind die "Fehler" jedoch nicht allzu wichtig, denn wenn eine Torsionslast auf eine nicht kreisförmige Struktur ausgeübt wird, "verziehen" sich die Querschnitte, dh sie bleiben nicht mehr eben . Im wirklichen Leben ist das Ausmaß des Verziehens oft unbekannt, da die Rückhaltesysteme an den Wellenenden diese beeinflussen. Wenn Sie wirklich eine genaue Schätzung der Torsionssteifigkeit einer nicht kreisförmigen Komponente benötigen, müssen Sie ein vollständiges 3D-Modell der Komponente selbst erstellen und festlegen, wie sie am Rest der Struktur befestigt ist. Wenn Sie ein Modell mit diesem Detaillierungsgrad erstellen, ist es nicht sinnvoll, die Antwort auf eine Zahl zu reduzieren, nur damit Sie sie als "Torsionssteifigkeit" bezeichnen können.

Das polare Trägheitsmoment Ip ist der Widerstand eines zu drehenden Festkörpers. Das Rotationsmassenträgheitsmoment J ist jedoch das Trägheitsmoment eines rotierenden Festkörpers. Siehe dieses Web .

Soweit ich weiß, ist J das gleiche wie das normale Trägheitsmoment, jedoch für rotierende Objekte.