Jede wirklich universelle effektive Methode standardisiert die Darstellungen der Formen so, dass sie sich bei Rotation, Translation, Reflexion oder geringfügigen Änderungen der internen Darstellung nicht ändern.
Eine Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, jede verbundene Form als abwechselnde Folge von Kantenlängen und (vorzeichenbehafteten) Winkeln aufzulisten, beginnend an einem Ende. (Die Form sollte "sauber" sein, da keine Kanten mit null Länge oder gerade Winkel vorhanden sind.) Um diese unter Reflexion unveränderlich zu machen, negieren Sie alle Winkel, wenn der erste Winkel ungleich Null negativ ist.
(Da jede verbundene Polylinie von n Eckpunkten n -1 Kanten hat, die durch n -2 Winkel getrennt sind, habe ich es im folgenden RCode als zweckmäßig empfunden, eine Datenstruktur zu verwenden, die aus zwei Arrays besteht, eines für die Kantenlängen $lengthsund das andere für die Winkel , $angles. Ein Liniensegment hat überhaupt keine Winkel, daher ist es wichtig, Arrays mit der Länge Null in einer solchen Datenstruktur zu behandeln.)
Solche Darstellungen können lexikographisch geordnet werden. Während des Standardisierungsprozesses akkumulierte Gleitkommafehler sollten berücksichtigt werden. Ein elegantes Verfahren würde diese Fehler als Funktion der ursprünglichen Koordinaten schätzen. In der folgenden Lösung wird ein einfacheres Verfahren verwendet, bei dem zwei Längen als gleich angesehen werden, wenn sie sich relativ um einen sehr kleinen Betrag unterscheiden . Winkel können sich absolut nur um einen sehr kleinen Betrag unterscheiden.
Um sie bei Umkehrung der zugrunde liegenden Ausrichtung invariant zu machen, wählen Sie die lexikographisch früheste Darstellung zwischen der der Polylinie und ihrer Umkehrung.
Um mehrteilige Polylinien zu handhaben, ordnen Sie ihre Komponenten in lexikografischer Reihenfolge an.
Um die Äquivalenzklassen unter euklidischen Transformationen zu finden, dann
Erstellen Sie standardisierte Darstellungen der Formen.
Führen Sie eine lexikografische Sortierung der standardisierten Darstellungen durch.
Durchlaufen Sie die sortierte Reihenfolge, um Sequenzen gleicher Darstellungen zu identifizieren.
Die Berechnungszeit ist proportional zu O (n * log (n) * N), wobei n die Anzahl der Merkmale und N die größte Anzahl von Eckpunkten in einem Merkmal ist. Das ist effizient.
Im Übrigen ist es wahrscheinlich erwähnenswert, dass eine vorläufige Gruppierung, die auf leicht zu berechnenden invarianten geometrischen Eigenschaften wie Polylinienlänge, Mittelpunkt und Momenten um diesen Mittelpunkt basiert , häufig angewendet werden kann, um den gesamten Prozess zu rationalisieren. Man muss nur Untergruppen von kongruenten Merkmalen innerhalb jeder solchen vorläufigen Gruppe finden. Die hier angegebene vollständige Methode wäre für Formen erforderlich, die ansonsten so bemerkenswert ähnlich wären, dass solche einfachen Invarianten sie immer noch nicht unterscheiden würden. Einfache Features, die aus Rasterdaten erstellt wurden, können beispielsweise solche Eigenschaften aufweisen. Da die hier angegebene Lösung jedoch ohnehin so effizient ist, dass sie möglicherweise von selbst funktioniert, wenn man sich die Mühe macht, sie zu implementieren.
Beispiel
Die linke Abbildung zeigt fünf Polylinien plus 15 weitere, die durch zufällige Translation, Rotation, Reflexion und Umkehrung der inneren Orientierung (die nicht sichtbar ist) erhalten wurden. Die rechte Figur färbt sie entsprechend ihrer euklidischen Äquivalenzklasse: Alle Figuren einer gemeinsamen Farbe sind kongruent; verschiedene Farben sind nicht kongruent.
RCode folgt. Wenn die Eingaben auf 500 Formen, 500 zusätzliche (kongruente) Formen mit einem Mittelwert von 100 Eckpunkten pro Form aktualisiert wurden, betrug die Ausführungszeit auf dieser Maschine 3 Sekunden.
Dieser Code ist unvollständig: Da Res keine native lexikografische Sortierung gibt und ich keine Lust hatte, eine von Grund auf neu zu codieren, führe ich die Sortierung einfach an der ersten Koordinate jeder standardisierten Form durch. Das ist in Ordnung für die hier erstellten zufälligen Formen, aber für Produktionsarbeiten sollte eine vollständige lexikografische Sortierung implementiert werden. Die Funktion order.shapewäre die einzige, die von dieser Änderung betroffen ist. Seine Eingabe ist eine Liste standardisierter Formen sund seine Ausgabe ist die Folge von Indizes, in sdie sie sortiert werden.
#
# Create random shapes.
#
n.shapes <- 5 # Unique shapes, up to congruence
n.shapes.new <- 15 # Additional congruent shapes to generate
p.mean <- 5 # Expected number of vertices per shape
set.seed(17) # Create a reproducible starting point
shape.random <- function(n) matrix(rnorm(2*n), nrow=2, ncol=n)
shapes <- lapply(2+rpois(n.shapes, p.mean-2), shape.random)
#
# Randomly move them around.
#
move.random <- function(xy) {
a <- runif(1, 0, 2*pi)
reflection <- sign(runif(1, -1, 1))
translation <- runif(2, -8, 8)
m <- matrix(c(cos(a), sin(a), -sin(a), cos(a)), 2, 2) %*%
matrix(c(reflection, 0, 0, 1), 2, 2)
m <- m %*% xy + translation
if (runif(1, -1, 0) < 0) m <- m[ ,dim(m)[2]:1]
return (m)
}
i <- sample(length(shapes), n.shapes.new, replace=TRUE)
shapes <- c(shapes, lapply(i, function(j) move.random(shapes[[j]])))
#
# Plot the shapes.
#
range.shapes <- c(min(sapply(shapes, min)), max(sapply(shapes, max)))
palette(gray.colors(length(shapes)))
par(mfrow=c(1,2))
plot(range.shapes, range.shapes, type="n",asp=1, bty="n", xlab="", ylab="")
invisible(lapply(1:length(shapes), function(i) lines(t(shapes[[i]]), col=i, lwd=2)))
#
# Standardize the shape description.
#
standardize <- function(xy) {
n <- dim(xy)[2]
vectors <- xy[ ,-1, drop=FALSE] - xy[ ,-n, drop=FALSE]
lengths <- sqrt(colSums(vectors^2))
if (which.min(lengths - rev(lengths))*2 < n) {
lengths <- rev(lengths)
vectors <- vectors[, (n-1):1]
}
if (n > 2) {
vectors <- vectors / rbind(lengths, lengths)
perps <- rbind(-vectors[2, ], vectors[1, ])
angles <- sapply(1:(n-2), function(i) {
cosine <- sum(vectors[, i+1] * vectors[, i])
sine <- sum(perps[, i+1] * vectors[, i])
atan2(sine, cosine)
})
i <- min(which(angles != 0))
angles <- sign(angles[i]) * angles
} else angles <- numeric(0)
list(lengths=lengths, angles=angles)
}
shapes.std <- lapply(shapes, standardize)
#
# Sort lexicographically. (Not implemented: see the text.)
#
order.shape <- function(s) {
order(sapply(s, function(s) s$lengths[1]))
}
i <- order.shape(shapes.std)
#
# Group.
#
equal.shape <- function(s.0, s.1) {
same.length <- function(a,b) abs(a-b) <= (a+b) * 1e-8
same.angle <- function(a,b) min(abs(a-b), abs(a-b)-2*pi) < 1e-11
r <- function(u) {
a <- u$angles
if (length(a) > 0) {
a <- rev(u$angles)
i <- min(which(a != 0))
a <- sign(a[i]) * a
}
list(lengths=rev(u$lengths), angles=a)
}
e <- function(u, v) {
if (length(u$lengths) != length(v$lengths)) return (FALSE)
all(mapply(same.length, u$lengths, v$lengths)) &&
all(mapply(same.angle, u$angles, v$angles))
}
e(s.0, s.1) || e(r(s.0), s.1)
}
g <- rep(1, length(shapes.std))
for (j in 2:length(i)) {
i.0 <- i[j-1]
i.1 <- i[j]
if (equal.shape(shapes.std[[i.0]], shapes.std[[i.1]]))
g[j] <- g[j-1] else g[j] <- g[j-1]+1
}
palette(rainbow(max(g)))
plot(range.shapes, range.shapes, type="n",asp=1, bty="n", xlab="", ylab="")
invisible(lapply(1:length(i), function(j) lines(t(shapes[[i[j]]]), col=g[j], lwd=2)))
.
rbind(x,y)statt verwendet hättencbind(x,y)). Das ist alles was Sie brauchen: DiespBibliothek wird nicht verwendet. Wenn Sie möchten , folgen , was im Detail geschehen ist, schlage ich vor , Sie beginnen mit, sagen wir,n.shapes <- 2,n.shapes.new <- 3, undp.mean <- 1. Dannshapes,shapes.stdusw. sind alle klein genug , um leicht überprüft werden. Der elegante und "richtige" Weg, um mit all dem umzugehen, wäre die Erstellung einer Klasse standardisierter Merkmalsdarstellungen.Sie verlangen viel mit willkürlicher Rotation und Erweiterung! Ich bin mir nicht sicher, wie nützlich die Entfernung zu Hausdorff sein würde, aber probieren Sie es aus. Mein Ansatz wäre es, die Anzahl der Fälle zu reduzieren, die über billige Daten überprüft werden sollen. Sie können beispielsweise teure Vergleiche überspringen, wenn die Länge der beiden Linestrings kein ganzzahliges Verhältnis ist (unter der Annahme einer ganzzahligen / abgestuften Skalierung ). Sie können auch prüfen, ob der Begrenzungsrahmenbereich oder die konvexen Rumpfbereiche in einem guten Verhältnis stehen. Ich bin sicher, es gibt viele billige Überprüfungen, die Sie gegen den Schwerpunkt durchführen können, wie Abstände oder Winkel von Anfang / Ende.
Nur dann, wenn Sie Skalierung erkennen, machen Sie es rückgängig und führen Sie die wirklich teuren Überprüfungen durch.
Klarstellung: Ich kenne die von Ihnen verwendeten Pakete nicht. Mit Ganzzahlverhältnis meinte ich, Sie sollten beide Abstände teilen, prüfen, ob das Ergebnis eine Ganzzahl ist, wenn nicht, diesen Wert invertieren (möglicherweise haben Sie die falsche Reihenfolge gewählt) und erneut prüfen. Wenn Sie eine Ganzzahl erhalten oder nahe genug sind, können Sie daraus schließen, dass möglicherweise eine Skalierung durchgeführt wurde. Oder es könnten nur zwei verschiedene Formen sein.
Was den Begrenzungsrahmen betrifft, haben Sie wahrscheinlich entgegengesetzte Punkte des Rechtecks, das ihn darstellt, so dass das Herausholen des Bereichs aus ihnen eine einfache Arithmetik ist. Das Prinzip hinter dem Verhältnisvergleich ist dasselbe, nur dass das Ergebnis quadriert wird. Kümmere dich nicht um konvexe Rümpfe, wenn du sie nicht gut aus dem R-Paket herausholen kannst, es war nur eine Idee (wahrscheinlich sowieso nicht billig genug).
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Eine gute Methode zum Vergleichen dieser Polylinien wäre, sich auf eine Darstellung als Folge von (Abständen, Drehwinkeln) an jedem Eckpunkt zu stützen: Für eine Linie, die aus Punkten besteht
P1, P2, ..., PN, wäre eine solche Folge:Entsprechend Ihren Anforderungen sind zwei Linien genau dann gleich, wenn ihre entsprechenden Sequenzen gleich sind (Modulo der Reihenfolge und Winkelrichtung). Der Vergleich von Zahlenfolgen ist trivial.
Indem Sie jede Polyliniensequenz nur einmal berechnen und, wie von lynxlynxlynx vorgeschlagen, die Sequenzähnlichkeit nur für Polylinien mit denselben trivialen Eigenschaften (Länge, Scheitelpunktnummer ...) testen, sollte die Berechnung wirklich schnell sein!
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