Eindimensionale Weltkarte?

Eine seltsame Frage, aber ich hoffe, das ist in Ordnung, hier zu stellen.

Hat jemand von einer 'eindimensionalen' Projektion der Weltkarte gehört - das heißt, alle Punkte auf dem Globus auf eine einzige Linie abzubilden?

Ich habe darüber nachgedacht, Städte, die auf dem Globus „nah“ sind, „nah“ an der Linie zu halten.

Bevor ich das tue, habe ich mich gefragt, wie der Stand der Technik in diesem Bereich sein könnte.

Eine allgemeine Technik zum Abbilden einer Sammlung von Punkten (für die Abstände angegeben sind) in einen euklidischen Raum (z. B. einen Dreiraum, eine Ebene oder sogar eine Linie) mit minimaler Verzerrung der Abstände wird als Multidimensional Scaling (MDS) bezeichnet. Es gibt verschiedene Algorithmen. Lösungen sind in R frei verfügbar und werden häufig mit kommerziellen Statistikpaketen geliefert.

Die 20 größten Städte in den USA werden hier mit den Standard-MDS-Einstellungen von Stata 11 zugeordnet. Die Zecken kennzeichnen 100 km Intervalle.

Vielen Dank an @whuber für die erste Antwort. dachte ich sollte die ergebnisse von mir hochladen tun ähnlich ...

Was es wert ist, ist die spezielle Form von MDS, die ich verwendet habe, t-SNE (auch bekannt als "t-Distributed Stochastic Neihbor Embedding" ), um die folgenden Bilder zu erzielen.

Hier ist ein Bild aller Städte in der Reihenfolge - auf der linken Achse ist der tatsächliche 1-D-Standort für diese Stadt und die Städte in der Reihenfolge von oben nach unten, von links nach rechts über diese Achse angeordnet. Farbe = Land

Hier ist ein weiteres Bild, in dem ich die Linie der Städte aufgenommen, aber auf der Weltkarte eingezeichnet habe. Unter dem Strich reduziert sich dieses Problem auf etwas, das dem Problem der reisenden Verkäufer sehr nahe kommt - mit dem Unterschied, dass es nicht nur eine Reihenfolge der Städte ist, sondern eine Zuordnung von Städten zu einer 1-d-Linie ...

Wenn jemand die vollständigen Ausgabedaten oder die hier verwendete Methodik haben möchte, schreibe mir bitte eine Nachricht.

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BEARBEITEN:

Als Antwort auf @ whubers Kommentar ..

Ja, Sie haben Recht, wenn Sie die lokale Entfernung hervorheben (dh, die lokalen Entfernungen der unmittelbaren Nachbarn sollten so nah wie möglich an den tatsächlichen Entfernungen auf der Weltkarte liegen). Das MDS-Problem reduziert sich auf das Problem des Handlungsreisenden. Wenn Sie jedoch die Optimierung (oder Anpassung) von Entfernungen über einen größeren / moderateren Bereich betonen, können Sie unterschiedliche Ergebnisse erzielen. Zum Beispiel ist hier, was der t-sne-Algorithmus gibt, wenn Sie einen höheren Wert für 'Ratlosigkeit' verwenden:

Sie können Ihren 2-D-Raum mit einer 1-D-Raumfüllungskurve wie einer Peano-Kurve oder einer Hilbert-Kurve abdecken. Anschließend ordnen Sie Ihre Punkte dem nächstgelegenen Punkt auf der Kurve zu. Wickeln Sie die Kurve aus und Sie sollten bis zu einem gewissen Grad eine Linie mit den nächstgelegenen Städten im nächstgelegenen Raum auf der Linie erhalten.

Es ist nicht perfekt (ich glaube nichts kann es sein), aber ich habe gesehen, dass es als Grundlage für einen Algorithmus für reisende Verkäufer verwendet wird - die Idee ist, dass es eine gute Annäherung ist, wenn Sie Ihre Verkäuferreise entlang der Linie machen die beste Lösung.

Merkwürdige Fragen sind oft die interessantesten!

Wenn Sie nach dem neuesten Stand der Technik bei der Verwendung von Dimensionen in der Kartografie suchen, können Sie mit Bertins Grafikseminarologie beginnen . Laut Bertin hat ein Stück Papier (oder eine iPad-Oberfläche) drei Dimensionen: Die zwei ebenen Dimensionen plus den Wert / die Textur. Die Grafik-Semiologie bietet Regeln zum Zuordnen von Informationsabmessungen zu diesen Repräsentationsabmessungen. Wenn die zwei ebenen Dimensionen die räumlichen Dimensionen sind, ist die Grafik eine Karte, und die dritte Dimension wird zur Darstellung der Informationen verwendet.

Wenn Sie eine eindimensionale Karte erstellen möchten, bedeutet dies, dass Sie einschränken möchten, keine der Abmessungen des Papiers zu verwenden, um die gewünschten Informationen darzustellen (die Nähe zwischen Städten). Ist es wirklich notwendig, eine solche Einschränkung aufzuerlegen und keine normale Karte zu erstellen?

Wenn es wirklich gebraucht wird, wie in anderen Antworten gesagt, kann es nicht getan werden! Die Nachbarschaftsbeziehung zwischen Städten kann nicht in einer Dimension dargestellt werden. Dafür könnten Sie:

• Verwenden Sie einen "benutzerzentrierten Ansatz": Befindet sich das Kartenpublikum an einem Ort oder gibt es einen bestimmten Ort, auf den Sie sich konzentrieren können, kann dieser Ort als Ursprung verwendet werden, und alle anderen Städte können nach ihrer Entfernung zu diesem Ursprung sortiert werden.
• Sortieren Sie die Städte nicht nur nach ihrer relativen Entfernung, sondern auch nach anderen Ähnlichkeitskriterien (Bevölkerung, Kontinent, Anzahl der Autos pro Einwohner usw.). Dann könnten einige statistische Behandlungen, wie die Analyse der Hauptkomponenten , eine eindimensionale Linie ergeben, entlang der die Städte angeordnet werden könnten.

trying to keep cities that are 'close' on the globe 'close' on the line

Stellen Sie sich drei Städte im gleichen Abstand voneinander vor, z. B. an den Eckpunkten eines gleichseitigen Dreiecks. Wie würden Sie das in einer Zeile darstellen? Einige Informationen gehen verloren.

Entweder verwerfen Sie eine Dimension vollständig, indem Sie z. B. alle Städte parallel oder auf einen Meridian projizieren (letzteres wäre interessant, da wir nicht zum Vergleichen der relativen Nord / Süd-Position von Städten zwischen verschiedenen Ländern verwendet werden), oder Sie wählen eine bestimmte Dimension aus Maß, zB "Entfernung von New York".

Die von Spacedman vorgeschlagene Peano-Kurve ist sehr interessant und würde eine originelle Karte ergeben, aber nahe gelegene Städte könnten sehr weit auf dieser Kurve landen .

Ich habe es noch nie benutzt, aber ich denke, ein GeoHash könnte dafür funktionieren.

Geohashes bieten Eigenschaften wie willkürliche Genauigkeit und die Möglichkeit, Zeichen schrittweise vom Codeende zu entfernen, um die Größe zu verringern (und die Genauigkeit schrittweise zu verringern).

Infolge der allmählichen Verschlechterung der Präzision weisen nahe gelegene Orte häufig (aber nicht immer) ähnliche Präfixe auf. Umgekehrt sind die beiden Orte umso näher, je länger ein gemeinsames Präfix ist.