Eine Tissot-Indikatrix ist eine nützliche Methode, um auf einen Blick die Arten von Verzerrungen mitzuteilen, denen eine bestimmte Projektion ausgesetzt ist (in der folgenden Abbildung nimmt jeder der roten Kreise dieselbe Fläche ein). Mir wurde gesagt, dass populäre Methoden zur Erzeugung von TIs ihre eigenen Probleme haben, bis sie manchmal kläglich ungenau sind.
Was ist das Problem mit den gängigen Methoden und wie lässt sich am besten ein TI generieren, auf das Ihr durchschnittlicher GIS-Typ (ette) Zugriff hat?
coordinate-system
gis-principle
Matt Wilkie
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Antworten:
Jede Software, die Koordinaten genau projizieren kann, kann genaue Tissot-Indikatoren berechnen .
Eine gute Quelle für die Formeln ist Snyder, John, Map Projections - A Working Manual , hauptsächlich auf den Seiten 20-26. (Ich werde sie hier nicht reproduzieren, da diese Site keine geeigneten Werkzeuge zur Übermittlung mathematischer Formeln enthält.) Sie erfordern alle vier ersten Ableitungen der projizierten Koordinaten (x, y) in Bezug auf die sphärischen Koordinaten (lat, lon) = (Phi, Lambda):
Alles andere an den TIs wird in diesen Begriffen berechnet (unter Verwendung einiger arithmetischer und trigonometrischer Funktionen: dem Cosinus, dem inversen Hauptsinus und dem inversen Haupttangens). Die Berechnungen erfordern eine Beschreibung der Erdform. Verwenden Sie für die höchste Genauigkeit ein Ellipsoid-Datum mit der Halbschwerachse a und der Exzentrizität e. (Diese werden der Software bekannt sein.)
Snyders Buch enthält Anweisungen, wie man alles außer diesen Derivaten berechnet. Mach es numerisch. Ich habe hervorragende Ergebnisse erzielt, wenn ich Schätzungen für zentrale finite Differenzen erster Ordnung in einer Entfernung von h = 10 ^ (- 5,2) Radiant (typischerweise um die 50 Meter) verwendet habe: Dies ist ein guter Kompromiss zwischen dem Versuch, unendlich nahe zu kommen und dem Verlust von zu viel Präzision Gleitkomma-Rundung (unter der Annahme einer doppelten Genauigkeit), da der gemachte Fehler proportional zu (10 ^ (- 5.2)) ist. ^ 2 = 10 ^ (- 10.4) und 10 ^ (- 5.2) entspricht dem 10 ^ 10.4-fachen der Genauigkeit nach IEEE mit doppelter Genauigkeit von 10 ^ (- 15,6) und es ist immer noch viel größer als die typische Präzision in Projektionen, die normalerweise von 10 ^ (- 10) bis etwa 10 ^ (- 14) laufen.
Wie berechnen Sie also die Schätzungen für endliche Differenzen? Dieser Teil ist überraschend einfach. Bitten Sie Ihr GIS, die Punkte zu projizieren, um dx / d (phi) an einem Punkt (phi, lambda) zu erhalten
Verwenden Sie die Schätzungen
In ähnlicher Weise projizieren Sie die Punkte
und verwenden Sie die Schätzungen
Das braucht vier Projektionen und ein bisschen Arithmetik. (Sie können es auf drei reduzieren, indem Sie nicht-zentrale Unterschiede verwenden, aber die Genauigkeit nimmt ein wenig ab. Es ist ratsam, eine hohe Genauigkeit anzustreben, ohne dass sie zu klein wird, es sei denn, Sie sind sicher, dass Ihr GIS Vermessungsgrad (Millimeter) verwendet.) Genauigkeit in seinen Projektionsformeln.)
Aus diesen Ableitungen können Sie zusammen mit Snyders Formeln (unter Berücksichtigung der unter 4-19 und 4-21 beschriebenen Modifikationen) die Längen der Achsen der Tissot-Indikatrix bei (phi, lambda) und ihre Ausrichtung erhalten. Auf Karten im Weltmaßstab ist der TI so klein, dass er unsichtbar ist. Als letztes müssen Sie entscheiden, wie viel Sie für jeden TI neu skalieren möchten. Ich bestimme den Skalierungsfaktor, indem ich herausfinde, wie groß die Karte sein wird, die Größen typischer TIs auf der Karte ermittle und skaliere, sodass diese TIs ungefähr 6% so breit sind wie die Karte. Es ist jedenfalls ein guter Anfang; Ich lasse den Benutzer die Größe des TI von dort aus anpassen. Natürlich werden Sie alle TIs um den gleichen Betrag neu skalieren, damit sie verglichen werden können, und jeder wird um sein eigenes Zentrum neu skaliert (was durch eine fünfte Projektion (phi, lambda) -> (x, y) erhalten wird. ).
Eine schöne Ergänzung zur elliptischen Darstellung des TI ist die Darstellung der Richtungen des lokalen Meridians und der Parallelen: Auf einen Blick können Sie dann die Gitterkonvergenz beurteilen . Ich zeige auch einen Standardkreis (der keine Verzerrung darstellt), der konzentrisch zu jedem TI ist, da dies die Fähigkeit des Lesers verbessert, das Ausmaß der von jeder Ellipse dargestellten Verzerrung zu messen.
Bemerkenswert bei dieser Mollweide-Projektion ist der extreme TI in der Nähe des Südpols. Es ist immer noch eine perfekte Ellipse und beschreibt genau die Kartenverzerrung dort.
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