Angesichts der folgenden:

1. Zeit, t
2. Der Satz von IS-200-Ephemeridendaten E eines GPS-Satelliten, der der Zeit t entspricht
3. Die ECEF-Position des GPS-Satelliten P = (x, y, z), abgeleitet aus der Zeit und der Ephemeride (t, E).
4. Angenommen, die Erde ist nur das WGS-84-Ellipsoid.
5. Alle Punkte auf WGS-84 haben den Maskenwinkel m.

Finde das Folgende:

1. den Abdeckungsring R auf WGS-84 des GPS-Satelliten. dh die Grenze, die unterscheidet, welche WGS-84-Punkte sich im Sichtfeld des Satelliten am Punkt P = (x, y, z) befinden und welche WGS-84-Punkte sich nicht im Sichtfeld befinden

Akzeptable Lösungen:

1. Ein Spline über WGS-84, der ungefähr R entspricht.
2. Ein Polygon über WGS-84, das sich R. annähert.
3. Oder eine Formel, die mir R gibt.

Was ich bisher ausprobiert habe:

• Es sei e ^ 2 = 0,0066943799901264; Exzentrizität im Quadrat

Wir haben eine ECEF WGS-84-Position nach geodätischem Breitengrad Phi und Längengrad Lambda:

r = 1 / (sqrt (1-e ^ 2 sin ^ 2 (phi)) * (cos (phi) * cos (lambda), cos (phi) * sin (lambda), (1-e ^ 2) * Sünde (phi)

Dann konvertiere ich ECEF nach East-North-Up (ENU) mit Phi und Lambda unter Verwendung der Matrix:

     (-sin(lambda)                  cos(lambda)                  0       )
C=   (-cos(lambda)*sin(phi)        -sin(lambda)*sin(phi)         cos(phi))
     ( cos(lambda)*cos(phi)         sin(lambda)*cos(phi)         sin(phi))

• Sei G = C (P - r)
• Nehmen Sie die z-Komponente von G. Sollte die z-Komponente von G größer sein als sin (m), dann weiß ich, dass der Punkt r in Sicht ist. Aber das reicht nicht aus, um die Lösung zu finden, nach der ich suche. Ich konnte nur ein paar Punkte finden, die in Sicht sind, und die konvexe Hülle dieser Punkte nehmen, aber das ist überhaupt nicht effizient.

Die Lösung für ein Ellipsoid ist ziemlich chaotisch - es ist eine unregelmäßige Form, kein Kreis - und wird am besten numerisch und nicht mit einer Formel berechnet.

Auf einer Weltkarte ist der Unterschied zwischen der WGS84-Lösung und einer rein sphärischen Lösung kaum zu erkennen (es handelt sich um ein Pixel auf einem Bildschirm). Der gleiche Unterschied würde durch Ändern des Maskenwinkels um ungefähr 0,2 Grad oder durch Verwenden einer polygonalen Approximation erzeugt. Wenn diese Fehler akzeptabel klein sind, können Sie die Symmetrie der Kugel ausnutzen, um eine einfache Formel zu erhalten.

Diese Karte (unter Verwendung einer gleichwinkligen Projektion) zeigt die Abdeckung eines Satelliten in 22.164 Kilometern Entfernung (vom Erdmittelpunkt) mit einem Maskenwinkel von m = 15 Grad auf dem WGS84-Sphäroid. Durch die Neuberechnung der Abdeckung für eine Kugel wird diese Karte nicht sichtbar geändert.

Auf der Kugel ist die Abdeckung tatsächlich ein Kreis, der am Standort des Satelliten zentriert ist. Daher müssen wir nur den Radius ermitteln, bei dem es sich um einen Winkel handelt. Nennen Sie das t . Im Querschnitt gibt es ein Dreieck OSP, das sich aus dem Erdmittelpunkt (O), dem Satelliten (S) und einem beliebigen Punkt (P) auf dem Kreis zusammensetzt:

• Die Seiten OP ist der Radius der Erde, R .

• Das Seiten-OS ist die Höhe des Satelliten (über dem Erdmittelpunkt). Nennen Sie das h .

• Der Winkel OPS beträgt 90 + m .

• Der Winkel SOP ist t , den wir finden wollen.

• Da die drei Winkel eines Dreiecks 180 Grad ergeben, muss der dritte Winkel OSP 90 - ( m + t ) betragen .

Die Lösung ist jetzt eine Frage der Elementartrigonometrie. Das (planare) Gesetz der Sinus sagt das aus

sin(90 - (m+t)) / r = sin(90 + m) / h.

Die Lösung ist

t = ArcCos(cos(m) / (h/r)) - m.

Betrachten Sie zur Kontrolle einige Extremfälle:

1. Wenn m = 0, ist t = ArcCos (r / h), was mit der elementaren euklidischen Geometrie überprüft werden kann.

2. Wenn h = r (der Satellit hat nicht gestartet), ist t = ArcCos (cos (m) / 1) - m = m - m = 0.

3. Wenn m = 90 Grad ist, ist t = ArcCos (0) - 90 = 90 - 90 = 0, wie es sein sollte.

Dies reduziert das Problem auf das Zeichnen eines Kreises auf der Kugel, was auf viele Arten gelöst werden kann. Beispielsweise können Sie den Satellitenstandort mit t * R * pi / 180 unter Verwendung einer äquidistanten Projektion puffern, die auf den Satelliten zentriert ist. Techniken zum direkten Arbeiten mit Kreisen auf der Kugel werden unter /gis//a/53323/664 veranschaulicht .

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Bei GPS-Satelliten und kleinen Maskenwinkeln (weniger als 20 Grad oder so) ist diese nicht-trigonometrische Approximation genau (auf einige Zehntel Grad und weniger als einige Hundertstel Grad, wenn der Maskenwinkel unter 10 Grad liegt) ):

t (degrees) = -0.0000152198628163333 * (-5.93410042925107*10^6 + 
              3.88800000000000*10^6 r/h + 65703.6145507725 m + 
              9.86960440108936 m^2 - 631.654681669719 r/h m^2)

Zum Beispiel ergibt diese Näherung bei einem Maskenwinkel von m = 10 Grad und einem Satelliten in 26.559,7 km Höhe über dem Erdmittelpunkt (das ist die nominelle Entfernung eines GPS-Satelliten ) 66,32159 ..., wohingegen der Wert (für die Kugel korrekt) ) ist 66,32023 ....

(Die Näherung basiert auf einer Taylorreihenexpansion um m = 0, r / h = 1/4.)