Wenn alle Quantentore einheitlich sein müssen, wie steht es dann mit der Messung?

Alle Quantenoperationen müssen einheitlich sein, um Reversibilität zu ermöglichen, aber was ist mit Messung? Die Messung kann als Matrix dargestellt werden, und diese Matrix wird auf Qubits angewendet, so dass dies dem Betrieb eines Quantentors äquivalent zu sein scheint. Das ist definitiv nicht umkehrbar. Gibt es Situationen, in denen uneinheitliche Tore erlaubt sein könnten?

Einheitliche Operationen sind nur ein Sonderfall von Quantenoperationen , bei denen es sich um lineare, vollständig positive Karten ("Kanäle") handelt, die Dichteoperatoren auf Dichteoperatoren abbilden. Dies wird deutlich in der Kraus-Darstellung des Kanals,

Jedoch Quantengattern sind einheitliche, weil sie über die Wirkung eines Hamilton - Operator für eine bestimmte Zeit durchgeführt werden, die entsprechend der Schrödinger - Gleichung eine einheitliche Zeitentwicklung gibt.

Kurze Antwort

Quantenoperationen müssen nicht einheitlich sein. Tatsächlich nutzen viele Quantenalgorithmen und -protokolle die Nichteinheitlichkeit.

Lange Antwort

Die Messungen sind wohl das naheliegendste Beispiel von Übergängen nicht einheits eine grundlegende Komponente von Algorithmen (in dem Sinne sind , dass eine „Messung“ aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung Abtasten nach der Dekohärenz Operation erhalten entspricht $\sum_k c_k\lvert k\rangle\mapsto\sum_k |c_k|^2\lvert k\rangle\langle k\rvert$ ).

Im Allgemeinen erfordert jeder Quantenalgorithmus, der probabilistische Schritte beinhaltet, nicht einheitliche Operationen. Ein bemerkenswertes Beispiel ist der Algorithmus von HHL09 zur Lösung linearer Gleichungssysteme (siehe 0811.3171 ). Ein entscheidender Schritt in diesem Algorithmus ist die Abbildung , wo | λ j ⟩ sind Eigenvektoren eines Operators. Diese Abbildung ist notwendigerweise probabilistisch und daher nicht einheitlich.$|\lambda_j\rangle\mapsto C\lambda_j^{-1}|\lambda_j\rangle$$|\lambda_j\rangle$

Jeder Algorithmus oder jedes Protokoll, das (klassische) Vorwärtskopplung verwendet, verwendet auch nicht einheitliche Operationen. Dies ist die Gesamtheit der Einweg-Quantenberechnungsprotokolle (die, wie der Name schon sagt, nicht umkehrbare Operationen erfordern).

Die bemerkenswertesten Schemata für die optische Quantenberechnung mit einzelnen Photonen erfordern auch Messungen und manchmal eine Nachauswahl, um die Zustände verschiedener Photonen zu verschränken. Zum Beispiel erzeugt das KLM-Protokoll probabilistische Gatter, die daher zumindest teilweise nicht reversibel sind. Eine nette Rezension zum Thema ist quant-ph / 0512071 .

Weniger intuitive Beispiele liefert das dissipationsinduzierte Quantenzustands-Engineering (z. B. 1402.0529 oder srep10656 ). In diesen Protokollen verwendet man eine dissipative Dynamik mit offener Karte und konstruiert die Interaktion des Zustands mit der Umgebung so, dass der langzeitstationäre Zustand des Systems der gewünschte ist.

In der Gefahr, vom Quantencomputer in die Physik abzuweichen, beantworte ich eine meiner Meinung nach relevante Unterfrage dieses Themas und informiere Sie über die Diskussion über einheitliche Gatter im Quantencomputer.

Die Frage hier ist: Warum wollen wir Einheitlichkeit in Quantentoren?

Die weniger spezifische Antwort ist wie oben, sie gibt uns "Reversibilität" oder, wie Physiker oft darüber sprechen, eine Art Symmetrie für das System. Ich nehme jetzt einen Kurs in der Quantenmechanik, und die Art und Weise einheitliche Tore in diesem Kurs beschnitten wurde durch den Wunsch motiviert physische Transformationen zu haben U : diese Handlung als Symmetrien. Diese beiden Bedingungen auferlegt auf die Transformation U :$\hat{U}$$\hat{U}$

1. Die Transformationen sollten linear auf den Zustand wirken (dies gibt uns eine Matrixdarstellung).
2. Die Transformationen sollten die Wahrscheinlichkeit oder genauer das innere Produkt bewahren . Das heißt, wenn wir definieren:

Erhaltung des inneren Produkts bedeutet , dass . Aus dieser zweiten Spezifikation kann die Einheitlichkeit abgeleitet werden (für Einzelheiten siehe die Anmerkungen von Dr. van Raamsdonk hier)$\langle \phi | | \psi \rangle= \langle \phi' | | \psi'\rangle$ ).

Das beantwortet also die Frage, warum Operationen, die Dinge "reversibel" halten, einheitlich sein müssen.

Die Frage, warum die Messung selbst nicht einheitlich ist, hängt eher mit der Quantenberechnung zusammen. Eine Messung ist eine Projektion auf eine Basis; im Wesentlichen muss es mit einem oder mehreren Basiszuständen als dem Zustand selbst "antworten". Es verlässt den Zustand auch auf eine Weise, die mit der "Antwort" auf die Messung und nicht mit den zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeiten übereinstimmt, mit denen der Zustand begonnen hat. Die Operation erfüllt also die Spezifikation 1. unserer Transformation $U$ , aber definitiv nicht die Spezifikation 2. Nicht alle Matrizen sind gleich!

Um die Dinge auf die Quantenberechnung zurückzurunden, ist die Tatsache, dass Messungen destruktiv und projektiv sind (dh wir können die Überlagerung nur durch wiederholte Messungen identischer Zustände rekonstruieren und jede Messung gibt uns nur eine 0/1-Antwort) ein Teil dessen, was macht Die Trennung zwischen Quanten-Computing und regulärem Computing ist subtil (und ein Teil dessen, warum es schwierig ist, dies zu bestimmen). Man könnte annehmen, dass Quantencomputer aufgrund der Größe des Hilbert-Raums leistungsfähiger sind, da uns all diese Zustandsüberlagerungen zur Verfügung stehen. Unsere Fähigkeit, diese Informationen zu extrahieren, ist jedoch stark eingeschränkt.

Soweit ich weiß, ist ein Qubit für die Speicherung von Informationen nur so gut wie ein normales Bit und nicht besser. Aufgrund der zugrunde liegenden linear-algebraischen Struktur können wir bei der Quantenberechnung mit der Art und Weise, in der Informationen ausgetauscht werden, klug sein.

Hier gibt es mehrere Missverständnisse, die zum größten Teil darauf zurückzuführen sind, dass man nur dem reinen Staatsformalismus der Quantenmechanik ausgesetzt ist. Gehen wir also nacheinander auf sie ein:

1. Alle Quantenoperationen müssen einheitlich sein, um Reversibilität zu ermöglichen, aber was ist mit Messung?

Das ist falsch. Im Allgemeinen sind die Zustände eines Quantensystems nicht nur Vektoren in einem Hilbert - Raum aber Dichtematrizen - Einheit-trace, positive semidefinite Operatoren auf der Hilbert - Raum wirkenden H dh ρ : H → H , T R ( ρ ) = 1 und ρ ≥ 0 (Es ist zu beachten, dass die reinen Zustandsvektoren keine Vektoren im Hilbert-Raum sind, sondern Strahlen in einem komplexen projektiven Raum . Für ein Qubit bedeutet dies, dass der Hilbert-Raum C P 1 und nicht C$\mathcal{H}$ $-$$\mathcal{H}$$\rho: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$$Tr(\rho) = 1$$\rho \geq 0$$\mathbb{C}P^1$$\mathbb{C}^2$). Dichtematrizen beschreiben ein statistisches Ensemble von Quantenzuständen.

$\rho^2 = \rho$$\rho^2 < \rho$$\rho^2 = \rho$$|\psi\rangle \in \mathcal{H}$$\rho = |\psi\rangle \langle\psi|$

$\Phi: L(\mathcal{H}) \rightarrow L(\mathcal{H})$

Now, coming to the OP's claim that all quantum operations are unitary to allow reversibility -- this is just not true. The unitarity of time evolution operator ($e^{-iHt/\hbar}$) in quantum mechanics (for closed system quantum evolution) is simply a consequence of the Schrödinger equation.

However, when we consider density matrices, the most general evolution is a CP-map (or CPTP for a closed system to preserve the trace and hence the probability).

2. Are there any situations where non-unitary gates might be allowed?

Yes. An important example that comes to mind is open quantum systems where Kraus operators (which are not unitary) are the "gates" with which the system evolves.

Note that if there is only a single Kraus operator then, $\sum_i K_i^\dagger K_i = \mathbb{I}$. But there's only one $i$, therefore, we have, $K^\dagger K = \mathbb{I}$ or, $K$ is unitary. So the system evolves as $\rho \rightarrow U \rho U^\dagger$ (which is the standard evolution that you may have seen before). However, in general, there are several Kraus operators and therefore the evolution is non-unitary.

Coming to the final point:

3. Measurement can be represented as a matrix, and that matrix is applied to qubits, so that seems equivalent to the operation of a quantum gate. That's definitively not reversible.

In standard quantum mechanics (with wavefunctions etc.), the system's evolution is composed of two parts $-$ a smooth unitary evolution under the system's Hamiltonian and then a sudden quantum jump when a measurement is made $-$ also known as wavefunction collapse. Wavefunction collapses are described as some projection operator say $|\phi\rangle \langle\phi|$ acting on the quantum state $|\psi\rangle$ and the $|\langle\phi|\psi\rangle|^2$ gives us the probability of finding the system in the state $|\phi\rangle$ after the measurement. Since the measurement operator is after all a projector (or as the OP suggests, a matrix), shouldn't it be linear and physically similar to the unitary evolution (also happening via a matrix). This is an interesting question and in my opinion, difficult to answer physically. However, I can shed some light on this mathematically.

If we are working in the modern formalism, then measurements are given by POVM elements; Hermitian positive semidefinite operators, $\{M_{i}\}$ on a Hilbert space $\mathcal{H}$ that sum to the identity operator (on the Hilbert space) $\sum _{{i=1}}^{n}M_{i}=\mathbb{I}$. Therefore, a measurement takes the form

The $\text{Tr}(E_i \rho E_i^\dagger) =: p_i$ is the probability of the measurement outcome being $M_i$ and is used to renormalize the state to unit trace. Note that the numerator, $\rho \rightarrow E_i \rho E_i^\dagger$ is a linear operation, but the probabilistic dependence on $p_i$ is what brings in the non-linearity or irreversibility.

Edit 1: You might also be interested Stinespring dilation theorem which gives you an isomorphism between a CPTP map and a unitary operation on a larger Hilbert space followed by partial tracing the (tensored) Hilbert space (see 1, 2).

Ich werde die anderen Antworten ein wenig ergänzen, nur um die Idee der Messung.

Die Messung wird üblicherweise als Postulat der Quantenmechanik verstanden. Es gibt normalerweise einige vorhergehende Postulate über Hilbert-Räume, aber danach

• Jede messbare physikalische Größe $A$ wird von einem Bediener beschrieben $\hat{A}$ auf einen Hilbertraum einwirken $\mathcal{H}$. Dieser Operator wird Observable genannt und seine Eigenwerte sind die möglichen Ergebnisse einer Messung.
• Wenn eine Messung der beobachtbaren gemacht wird $A$im Zustand des Systems $\psi$und das Ergebnis ist $a_n$, dann ist der Zustand des Systems unmittelbar nach der Messung $$\frac{\hat{P}_n|\psi\rangle}{\|\hat{P}_n|\psi\rangle\|},$$ woher $\hat{P}_n$ ist der Projektor auf den Eigen-Unterraum des Eigenwertes $a_n$.

Normalerweise sollten die Projektionsoperatoren selbst zufrieden stellen $\hat{P}^\dagger=\hat{P}$ und $\hat{P}^2=\hat{P}$Dies bedeutet, dass sie selbst durch die obigen Postulate und ihre Eigenwerte beobachtbar sind $1$ oder $0$. Angenommen, wir nehmen einen der$\hat{P}_n$ oben können wir das interpretieren $1,0$ Eigenwerte als binäre Ja / Nein-Antwort auf die beobachtbare Größe $a_n$ ist als Ergebnis der Messung des Staates verfügbar $|\psi\rangle$.

Measurements are unitary operations, too, you just don't see it: A measurement is equivalent to some complicated (quantum) operation that acts not just on the system but also on its environment. If one were to model everything as a quantum system (including the environment), one would have unitary operations all the way.

However, usually there is little point in this because we usually don't know the exact action on the environment and typically don't care. If we consider only the system, then the result is the well-known collapse of the wave function, which is indeed a non-unitary operation.

Quantenzustände können sich auf zwei Arten ändern: 1. quantisch , 2. klassisch .

1. Alle Zustandsänderungen, die quantitativ stattfinden , sind einheitlich. Alle die Quantengatter, Quantenfehler, etc., sind Quanten Änderungen .

2. Es besteht keine Verpflichtung, dass klassische Änderungen einheitlich sind, z. B. ist die Messung eine klassische Änderung .

Umso mehr wird gesagt, dass der Quantenzustand nach der Messung "gestört" wird.