Toffoli-Tor als FANOUT

Ich habe nach Beispielen für Quantenschaltungen gesucht, um mit der Q # -Programmierung zu üben, und bin auf diese Schaltung gestoßen:

^{Aus : Beispiele für Quantenschaltpläne - Michal Charemza}

In meinen Einführungskursen in Quantenberechnung wurde uns beigebracht, dass das Klonen eines Zustands nach den Gesetzen des QM verboten ist, während in diesem Fall das erste Kontroll-Qubit auf das dritte Ziel-Qubit kopiert wird.

Ich habe schnell versucht, die Schaltung auf Quirk zu simulieren, so etwas wie diese , die das Klonen des Status in der Ausgabe auf dem ersten Qubit bestätigt. Die Messung des Qubits vor dem Toffoli-Gate zeigt, dass es sich in der Tat nicht um ein echtes Klonen handelt, sondern um eine Änderung des ersten Kontroll-Qubits und eine gleiche Ausgabe des ersten und dritten Qubits.

Mit einfachen Berechnungen kann gezeigt werden, dass das "Klonen" nur dann erfolgt, wenn sich das dritte Qubit im Anfangszustand 0 befindet, und dass nur dann, wenn auf dem ersten Qubit keine "Spinnoperation" (wie bei "Quirk" angegeben) auf Y ausgeführt wird oder X.

Ich habe versucht, ein Programm in Q # zu schreiben, das nur das oben Gesagte bestätigt.

Ich habe Schwierigkeiten zu verstehen, wie sich das erste Qubit durch diese Operation ändert und wie etwas Ähnliches wie ein Klonen möglich ist.

Danke im Voraus!

Um die Frage zu vereinfachen, betrachten Sie das CNOT-Gate anstelle des Toffoli-Gates. CNOT ist auch Fanout weil

$$\begin{align} |0\rangle|0\rangle \rightarrow |0\rangle|0\rangle\\ |1\rangle|0\rangle \rightarrow |1\rangle|1\rangle \end{align}$$

und es sieht so aus, als würde man für jeden Basiszustand | klonen x ⟩ | 0 ⟩ → | x ⟩ | x $x\in\{0,1\}$

$$\begin{align} |x\rangle|0\rangle \rightarrow |x\rangle|x\rangle \end{align}$$

aber wenn Sie eine Überlagerung nehmen dann$|\psi\rangle=\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$

$$\begin{align} (\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle)|0\rangle \rightarrow \alpha|0\rangle|0\rangle+ \beta|1\rangle|1\rangle \end{align}$$

so allgemein

$$\begin{align} |\psi\rangle|0\rangle\not\rightarrow|\psi\rangle|\psi\rangle \end{align}$$

und Fanout klont nicht.

Was die Frage betrifft, wie das erste Qubit geändert wird, so ist es jetzt mit dem zweiten Qubit verstrickt .

Gute Frage! Die Antwort ist, dass das No-Cloning-Theorem besagt, dass Sie keinen beliebigen unbekannten Zustand klonen können .

Diese Schaltung verstößt nicht gegen das No-Cloning-Theorem, weil wir uns ansehen, was sie tut, wenn die Eingabe ist $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$. Der Ausgang am dritten Register muss noch a sein$|0\rangle$ oder ein $|1\rangle$.

Daher ist es für diese Schaltung unmöglich, einen beliebigen Zustand zu klonen$|\psi\rangle$und ein Beispiel für einen Zustand, den es nicht klonen kann, ist: $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$.

The no cloning theorem says that there is no circuit which creates independent copies of all quantum states. Mathematically, no cloning states that:

$$\forall C: \exists a,b: C \cdot \Big( (a|0\rangle + b|1\rangle)\otimes|0\rangle \Big) \neq (a|0\rangle + b|1\rangle) \otimes (a|0\rangle + b|1\rangle)$$

Fanout circuits don't violate this theorem. They don't make indepedent copies. They make entangled copies. Mathematically, they do:

$$\text{FANOUT} \cdot \Big( (a|0\rangle + b|1\rangle) \otimes |0\rangle \Big) = a|00\rangle + b|11\rangle$$

So everything is fine because $a|00\rangle + b|11\rangle$ is not the same thing as $(a|0\rangle + b|1\rangle) \otimes (a|0\rangle + b|1\rangle)$.