In [1] wird das Problem der Simulation eines Hamiltonianers unter Verwendung wiederholter Anwendungen eines anderen Satzes von Hamiltonianern diskutiert.
Insbesondere seien und B ein Paar hermitischer Operatoren und L die Algebra , die durch wiederholte Kommutierung aus A , B erzeugt wird ( † ) .
Der Autor fragt dann (erster Absatz der dritten Seite), was für ein beliebiges Paar von Observablen A und B ist , und argumentiert, dass L der Raum aller hermitianischen Matrizen ist, es sei denn (zitiert aus dem Papier) sowohl e i A t als auch e i B t liegen in einer n- dimensionalen einheitlichen Darstellung einer anderen Lie-Gruppe als U ( n ) .
Ich bin mit der Theorie der Lie-Algebren nicht allzu vertraut, daher ist diese Aussage für mich ziemlich kryptisch. Wie kann dies expliziter gezeigt werden? Gibt es einen direkteren Weg, um diese Tatsache zu zeigen?
[1] Lloyd 1995, Fast jedes Quantenlogiktor ist universell , Link zu PRL .
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Antworten:
Etwa zur gleichen Zeit haben David Deutsch et al . hat in dieser Arbeit dasselbe bewiesen: Universalität in der Quantenberechnung (1995) , jedoch ohne jemals das Wort "Algebra" oder "Lüge" in der gesamten Arbeit zu verwenden. Der Beweis beginnt auf Seite 3 und der Hauptpunkt liegt bei Gl. 9, die die gleiche Gleichung ist, die in Seth Lloyds Artikel erscheint, aber hier wird sie ohne Bezugnahme auf "Lie-Algebren" erklärt. Gl. 9 ist eine Anwendung dessen, was wir in der Physik oft nur als " Traberaufteilung " bezeichnen. Es wurde fast 100 Jahre zuvor von Sophus Lie niedergeschrieben, aber Sie müssen nichts über Lie-Algebren oder sogar Vektorräume wissen, um die Formel wie in Gl. 9.
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