Wie können mehrere Qubit-Zustände kompakt dargestellt werden?

Da der Zugang zu Quantengeräten, die quantencomputertauglich sind, immer noch äußerst begrenzt ist, ist es von Interesse, Quantenberechnungen auf einem klassischen Computer zu simulieren . Die Darstellung des Zustands von Qubits als Vektor benötigt Elemente, was die Anzahl der Qubits, die in solchen Simulationen berücksichtigt werden können, stark einschränkt.$n$$2^n$

Kann man eine Darstellung ^{1 verwenden} , die in dem Sinne kompakter ist, dass sie weniger Speicher und / oder Rechenleistung benötigt als die einfache Vektordarstellung? Wie funktioniert es?

Es ist zwar einfach zu implementieren, es ist jedoch klar, dass die Vektordarstellung für Zustände verschwenderisch ist, die in ihrer Vektordarstellung Sparsamkeit und / oder Redundanz aufweisen. Für ein konkretes Beispiel sei den 3-Qubit - Zustand . Es hat Elemente, aber sie nehmen nur mögliche Werte an, wobei die meisten Elemente . Um eine Quantenberechnung zu simulieren, müssten wir natürlich auch überlegen, wie man Gates und die Wirkung von Gates auf Qubits darstellt, und etwas darüber aufnehmen. Aber ich würde mich freuen, auch nur über Qubits zu hören.$(1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3},0,0,0,-1/\sqrt{3}, 0,0)^T$$2^3$$3$$0$

_{1. Beachten Sie, dass ich nach den Darstellungen frage, nicht nach Software, Bibliotheken oder Artikeln, die solche Darstellungen verwenden / präsentieren könnten. Wenn Sie eine Darstellung präsentieren und erläutern, können Sie gerne angeben, wo sie bereits verwendet wird.}

Es gibt viele Möglichkeiten, einen Staat kompakt darzustellen, dessen Nützlichkeit stark vom Kontext abhängt.

Zuallererst ist zu beachten, dass es keine Prozedur gibt, die einen Zustand einer effizienteren Darstellung desselben Zustands zuordnen kann (aus dem gleichen Grund, warum es offensichtlich nicht möglich ist, ein 2-Bit-Bit genau zu komprimieren) Zeichenfolge als 1-Bit-Zeichenfolge mit einer Zuordnung, die nicht von der Zeichenfolge abhängt).

Sobald Sie jedoch einige Annahmen treffen, können Sie effizientere Möglichkeiten finden, um einen Zustand in einem bestimmten Kontext darzustellen. Es gibt eine Vielzahl von Möglichkeiten, dies zu tun. Ich möchte nur einige nennen, die mir in den Sinn kommen:

1. Bereits die Standardvektordarstellung eines Ket-Zustands kann als "komprimierte Darstellung" betrachtet werden, die unter der Annahme arbeitet, dass der Zustand rein ist . In der Tat benötigen Sie reelle Freiheitsgrade, um einen beliebigen (im Allgemeinen gemischten) n- Qubit-Zustand darzustellen, aber nur 2 n + 1 - 2 , um einen reinen Zustand darzustellen.$4^n-1$$n$$2^{n+1}-2$

2. Wenn Sie ein Zustand annehmen seine fast rein, das heißt, so dass ρ ist spärlich in irgendeiner Darstellung (äquivalent ρ niedrig Rang), dann wieder kann der Zustand effizient charakterisiert werden. Für ein d- dimensionales System (also d = 2 n für ein n- Qubit-System) können Sie anstelle von ~ d 2 -Parametern nur O ( r d log 2 d ) verwenden , wobei r die Sparsity ist des Staates (siehe 0909.3304$\rho$$\rho$$\rho$$d$$d=2^n$$n$$d^2$$\mathcal O(r d \log^2 d)$$r$ und die Werke, die danach kamen).

3. Wenn Sie in einer begrenzten Zahl nur daran interessiert sind von Erwartungswerten finden Sie eine komprimierte Darstellung eines n- Qubit-Zustands der Größe O ( n log ( n ) log ( | S | ) ) . Beachten Sie, dass dies eine exponentielle Reduzierung darstellt . Dies wurde (glaube ich) in quant-ph / 0402095 gezeigt , aber die Einführung in 1801.05721 könnte für einen Physiker zugänglicher sein (und Verbesserungen in der Optimierungsmethode aufzeigen ). In den Referenzen in diesem letzten Artikel finden Sie eine Reihe ähnlicher Ergebnisse.$|S|$$n$$\mathcal O(n\log(n)\log(|S|))$

4. Wenn Sie wissen, dass die Verschränkung des Staates begrenzt ist (in einem Sinne, der genau definiert werden kann), können Sie wiederum effiziente Darstellungen in Form von Tensornetzwerken finden (eine Einführung finden Sie z . B. in 1708.00006 ). In jüngerer Zeit wurde auch gezeigt, dass Grundzustände einiger bemerkenswerter Hamiltonianer durch maschinelles Lernen inspirierte Ansatze (( 1606.02318 und viele der folgenden Werke) dargestellt werden können. Dies wurde kürzlich auch gezeigt / behauptet, dass es einer bestimmten Tensor-Netzwerk-Darstellung entspricht ( 1710.04045 ) Ich bin mir also nicht sicher, ob es zu einer eigenen Kategorie gehören soll.

Beachten Sie, dass Sie in allen oben genannten Fällen einen bestimmten Zustand effizienter darstellen können. Um jedoch die Entwicklung des Systems zu simulieren , müssen Sie im Allgemeinen zur ursprünglichen ineffizienten Darstellung zurückkehren. Wenn Sie die Dynamik eines Zustands durch eine gegebene Evolution effizient abbilden wollen , müssen Sie erneut Annahmen über die Evolution treffen, damit dies möglich ist. Das einzige Ergebnis, das in dieser Hinsicht in den Sinn kommt, ist das klassische Gottesman-Knill-Theorem (wie im etablierten, nicht wie im "Nicht-Quanten" -Satz) , mit dem sich jede Clifford-Quantenschaltung effizient simulieren lässt.

$\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}$Ich bin mir nicht sicher, ob die Verwendung von Sparsity ein guter Ansatz ist: Selbst Single-Qubit-Gates können einen spärlichen Zustand leicht in einen dichten verwandeln.

Sie können jedoch den Stabilisator-Formalismus verwenden, wenn Sie nur Clifford-Tore verwenden . Hier ist eine kurze Zusammenfassung ( notation ):
Die Single-Qubit - Pauli - Gruppe ist , , dh alle möglichen Produkte von Pauli Matrizen (einschließlich I ). Die Pauli-Gruppe mehrerer Qubits ist der Tensorproduktraum von G 1 , G n = G ⊗ n 1 . Der Stabilisator eines Staates | & psgr; ⟩ ist die Untergruppe der Pauli Gruppe aller Operatoren , die Stabilisierung$G_1=\langle X, Y, Z\rangle$$\mathbb{I}$$G_1$$G_n=G_1^{\otimes n}$$\ket{\psi}$ , was bedeutet , s | & psgr; ⟩ = | & psgr; ⟩ . Es ist wichtig zu beachten, dass dies nur für bestimmte (aber wichtige) Zustände funktioniert. Ich werde unten ein Beispiel geben. Die Beschränkung auf Elemente der Pauli-Gruppe ist nicht notwendig, aber üblich. Der Stabilisator wird durch die Operatoren s 1 , s 2 , ... s n erzeugt . Der Stabilisator definiert den Zustand eindeutig und ist eine effiziente Beschreibung: Anstelle von 2 n - 1 komplexen Zahlen können 4 n 2 Bits ( G $\ket{\psi}$$s \ket{\psi} = \ket{\psi}$$s_1$$s_2$$s_n$$2^n-1$$4n^2$$G_1$hat 16 Elemente). Wenn wir ein Gatter anlegen , werden die Stabilisatorgeneratoren gemäß s i → U † s i U aktualisiert . Ein Tor, das Pauli-Operatoren auf Pauli-Operatoren abbildet, heißt Clifford-Tore. Das sind also die Tore, die unsere Beschreibung des Staates nicht "durcheinander bringen".$U$$s_i \to U^\dagger s_i U$

Diagrammzustände sind ein wichtiges Beispiel für den oben beschriebenen Stabilisatorformalismus. Man betrachte einen (ungerichteten) mathematischen Graphen, der aus Ecken V und Kanten E ⊂ V × V besteht . Jeder Eckpunkt entspricht einem Qubit. Bezeichnen wir den Graphen mit G = ( V , E ) . Aus dem Zustand | wird ein Graphzustand erzeugt + ⟩ ⊗ n , wo | + ⟩ = $n$$V$$E\subset V\times V$$G=(V,E)$$\ket{+}^{\otimes n}$durch Anlegen eines phasengesteuerten GattersCZfür jedes Paar von Eckpunkten, die verbunden sind. Der Stabilisator wird durch generiertsv=XVΠ w ∈ V ( v , w ) ∈ E Zw$\ket{+}=\frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{0}+\ket{1})$$C_Z$

$$s_v= X_v \prod_{\substack{w\in V\\ (v,w)\in E}} Z_w.$$

$\ket{\phi}=\ket{+}\otimes \ket{+}$$\langle X\otimes \mathbb{I}, \mathbb{I}\otimes X \rangle$$C_Z$$\langle X \otimes Z, Z \otimes X \rangle$$\ket{\phi'}=\frac{1}{2}(1,1,1,-1)^T$

Der Stabilisatorformalismus spielt auch eine wichtige Rolle bei der Quantenfehlerkorrektur.

Kann man eine Darstellung verwenden, die in dem Sinne kompakter ist, dass sie weniger Speicher und / oder Rechenleistung benötigt als die einfache Vektordarstellung? Wie funktioniert es?

Quelle: " Mehrere Qubits ":

Ein einzelnes Qubit kann trivial modelliert werden, wobei die Simulation einer Fünfzig-Qubit-Quantenberechnung die Grenzen bestehender Supercomputer wohl sprengen würde. Durch Erhöhen der Größe der Berechnung um nur ein zusätzliches Qubit wird der zum Speichern des Zustands erforderliche Speicher verdoppelt und die Rechenzeit ungefähr verdoppelt Diese rasche Verdoppelung der Rechenleistung ist der Grund, warum ein Quantencomputer mit einer relativ geringen Anzahl von Qubits die leistungsstärksten Supercomputer von heute, morgen und darüber hinaus für einige Rechenaufgaben bei weitem übertreffen kann. "

Sie können also kein Ponzi-Schema anwenden oder Peter ausrauben, um Paul zu bezahlen . Durch die Komprimierung wird Speicher auf Kosten der Rechenkomplexität gespart, oder die Darstellung in einem flexibleren Raum (größer) würde die Rechenkomplexität verringern, jedoch auf Kosten des Speichers. Im Wesentlichen werden leistungsfähigere Hardware oder intelligentere Algorithmen benötigt.

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Hier sind einige Methoden:

• Komprimierung des Volumens von Mengen von Quantenzuständen der Qubit-Metrik:

Die Fisher-Informationsmetrik kann verwendet werden, um das Volumen des Qubits unter Verwendung eines Informationsgeometrie-Ansatzes abzubilden, wie in " Das Volumen von Zwei-Qubit-Zuständen durch Informationsgeometrie ", " Analyse von Fisher-Informationen und der Cramer-Rao-Grenze für nichtlineare Parameterschätzung" beschrieben After Compressed Sensing "und unsere" Intuitive Erklärung von Fisher Information und Cramer-Rao bound ".

• Analog zur Operandenkomprimierung:

Berechnung tiefenoptimaler Zerlegungen logischer Operationen: " Ein Algorithmus zum Treffen in der Mitte zur schnellen Synthese tiefenoptimaler Quantenschaltungen " oder diese Quora-Diskussion zum Thema " Codieren der Dimension des Teilchens ".

• Analog zur Speicherkomprimierung:

Qutrit- Faktorisierung mit ternärer Arithmetik: " Faktorisierung mit Qutrits: Shors Algorithmus für ternäre und metaplektische Quantenarchitekturen " und " Quantenternärkreissynthese mit Projektionsoperationen ".

• Analog zur traditionellen Optimierung

" Ein Quantenalgorithmus zum Finden minimaler Exklusiv-Oder-Ausdrücke ".

• Andere:

Krull-Dimensionen oder Axiomatisierung und Umschreiben von Graphen: " Vollständigkeit der ZX-Rechnung für die reine Qubit Clifford + T-Quantenmechanik ".

Wenn Sie diese Techniken kombinieren, sollten Sie in der Lage sein, den Fuß in den Schuh zu drücken. Das würde die Emulation größerer Systeme auf herkömmlichen Prozessoren ermöglichen. Bitten Sie mich einfach nicht, die Arbeit auf Doktorandenebene zu erläutern oder den Code zu schreiben. :)