Wie wirkt sich die Messung eines Qubits auf die anderen aus?

Um den Zustand eines Quantencomputers darzustellen, tragen alle Qubits zu einem Zustandsvektor bei (dies ist nach meinem Verständnis einer der Hauptunterschiede zwischen Quanten- und klassischem Computing). Meines Wissens ist es möglich, nur ein Qubit aus einem System von mehreren Qubits zu messen. Wie wirkt sich die Messung dieses einen Qubits auf das gesamte System aus (insbesondere auf den Zustandsvektor)?

Es gibt viele verschiedene Sichtweisen auf Qubits, und der Staatsvektor-Formalismus ist nur eine davon. Im allgemeinen linear-algebraischen Sinne ist eine Messung eine Projektion auf eine Basis. Hier möchte ich Ihnen ein Beispiel aus der Sicht von Pauli vorstellen, das das übliche Schaltungsmodell der Qualitätskontrolle ist.

Erstens ist es von Interesse, auf welcher Basis der Zustandsvektor bereitgestellt wird - jeder Messoperator wird mit einer Reihe von Eigenzuständen geliefert, und welche Messungen Sie auch betrachten (z. B. $X,Y,Z, XX, XZ$ usw.). Bestimmen Sie die Basis, auf die Sie den Zustandsvektor am besten schreiben können. Am einfachsten können Sie Ihre Frage beantworten, wenn Sie wissen, welche Basis für Sie von Interesse ist und vor allem, ob sie mit der gerade durchgeführten Messung pendelt .

Nehmen wir der Einfachheit halber an, Sie beginnen mit zwei gekoppelten Qubits in einem beliebigen Zustand, der für beide Qubits auf der $Z$ Basis geschrieben ist :

$$| \psi \rangle = a | 0_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle +b | 0_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle + c | 1_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle + d | 1_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle$$

Die einfachsten möglichen Messungen wären , dh der Z- Operator für das erste Qubit, gefolgt von Z 2 , dem Z- Operator für das zweite Qubit. Was macht die Messung? Es projiziert den Zustand in einen der Eigenzustände. Sie können sich das so vorstellen, als ob Sie alle möglichen Antworten eliminieren, die nicht mit den soeben gemessenen übereinstimmen. Nehmen wir zum Beispiel an, wir messen Z 1 und erhalten das Ergebnis 1 , dann wäre der resultierende Zustand:$Z_{1}$$Z$$Z_{2}$$Z$$Z_{1}$$1$

$$| \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{|c|^{2} +|d|^{2}}} \left(c | 1_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle + d | 1_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle \right)$$

Note that the coefficient out front is just for renormalization. So our probability of measuring $Z_{2}=0$ is $\frac{1}{|c|^{2} +|d|^{2}} |c^{2}|$. Note this is different from the probability we had in the initial state, which was $|a|^{2}+|c|^{2}$.

Suppose the next measurement you make does not commute with the previous one, however. This is trickier because you have to implement a change of basis on the state vector in order to understand the probabilities. With Pauli measurements, though, it tends to be easy since the eigenbases relate in a nice way, that is:

$$| 0_{Z} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0_{X}\rangle + |1_{X} \rangle )$$

$$| 1_{Z} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0_{X}\rangle - |1_{X} \rangle )$$

Ein guter Weg, um Ihr Verständnis zu überprüfen: Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird nach der obigen Messung von Z 1 = 1 gemessen ? Was ist die Wahrscheinlichkeit, wenn wir die Z 1 -Messung nicht durchgeführt haben? Eine kompliziertere Frage ist es dann, Produktoperatoren zu betrachten, die auf beide Qubits gleichzeitig einwirken. Wie wirkt sich beispielsweise eine Messung von Z 1 Z 2 = + 1 auf den Anfangszustand aus? Hier misst Z 1 Z 2 das Produkt der beiden Operatoren.$X= +1$$Z_{1}=1$$Z_{1}$$Z_{1}Z_{2}=+1$$Z_{1}Z_{2}$

Nehmen wir an, dass vor der Messung, Ihre -qubit System ist in einem gewissen Zustand | & psgr; ⟩ ∈ H ⊗ n 2 , wobei H 2 ≅ C 2 ist der Hilbert - Raum eines einzelnen Qubits. Schreiben | & psgr; ⟩ = Σ x ∈ { 0 , 1 } n u x | x ⟩ für einige Koeffizienten u x ∈ C , so dass Σ x | u$n$$\lvert \psi \rangle \in \mathcal H_2^{\otimes n}$$\mathcal H_2 \cong \mathbb C^2$

$$\lvert \psi \rangle = \sum_{x \in \{0,1\}^n} u_x \lvert x \rangle$$ $u_x \in \mathbb C$$\sum_x \lvert u_x \rvert^2 = 1$ .

• Wenn Sie das erste Qubit in der Standardbasis messen, definieren Sie

  $$\begin{aligned} \lvert \varphi_0 \rangle &= \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! u_{0x'} \,\lvert0\rangle \lvert x' \rangle, \\ \lvert \varphi_1 \rangle &= \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! u_{1x'} \,\lvert1\rangle \lvert x' \rangle,\end{aligned}$$ $\lvert \psi_0 \rangle = \lvert \varphi_0 \rangle \big/\! \sqrt{\langle \varphi_0 \vert \varphi_0 \rangle}\,$ and $\,\lvert \psi_1 \rangle = \lvert \varphi_1 \rangle \big/\! \sqrt{\langle \varphi_1 \vert \varphi_1 \rangle}\,$. It is not too difficult to show that, if you measure the first qubit and obtain the state $\lvert 0 \rangle$, the state of the entire system "collapses" to $\lvert \psi_0 \rangle$, and if you obtain $\lvert 1 \rangle$ what you obtain is $\lvert \psi_1 \rangle$.

  This is broadly analogous to the idea of conditional probability distributions: you might think of $\lvert \psi_0 \rangle$ as the state of the system conditioned on the first qubit being $\lvert 0 \rangle$, and $\lvert \psi_1 \rangle$ as the state of the system conditioned on the first qubit being $\lvert 1 \rangle$ (except of course that the story is a bit more complicated, on account of the fact that the first qubit is not "secretly" in either the state $0$ or $1$).

• The above is not strongly dependent on measuring the first qubit: we can define $\lvert \varphi_0 \rangle$ and $\lvert \varphi_1 \rangle$ in terms of fixing any particular bit in the bit string $x$ to either $0$ or $1$, summing over only those components which are consistent with either the choice $0$ or $1$, and proceeding as above.

• The above is also not strongly dependent on measuring in the standard basis, as Emily indicates. If we wish to consider measuring the first qubit in the basis $\lvert \alpha \rangle, \lvert \beta \rangle$, where $\lvert \alpha \rangle = \alpha_0 \lvert 0 \rangle + \alpha_1 \lvert 1 \rangle$ and $\lvert \beta \rangle = \beta_0 \lvert 0 \rangle + \beta_1 \lvert 1 \rangle$, we define

  $$\begin{aligned} \lvert \varphi_0 \rangle &= \Bigl(\lvert \alpha \rangle\!\langle \alpha \lvert \otimes I^{\otimes n-1}\Bigr)\lvert \psi\rangle = \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! \bigl(\alpha_0^\ast u_{0x'} + \alpha_1^\ast u_{1x'}\bigr) \,\lvert\alpha\rangle \lvert x' \rangle\,, \\ \lvert \varphi_1 \rangle &= \Bigl(\lvert \beta\rangle\!\langle \beta \lvert \otimes I^{\otimes n-1}\Bigr)\lvert \psi\rangle = \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! \bigl(\beta_0^\ast u_{0x'} + \beta_1^\ast u_{1x'}\bigr) \,\lvert\beta\rangle \lvert x' \rangle\,, \end{aligned}$$ and then proceeding as above.

Less formally-stated than the other answers, but for beginners I like the intuitive method outlined by Prof. Vazirani in this video.

Suppose you have a general two-qbit state:

$|\psi\rangle = \begin{bmatrix} \alpha_{00} \\ \alpha_{01} \\ \alpha_{10} \\ \alpha_{11} \end{bmatrix} = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle + \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle$

Now suppose you measure the most-significant (leftmost) qbit in the computational basis (as in, collapse it to either $|0\rangle$ or $|1\rangle$). There are two questions we might ask:

1. What is the probability that the measured qbit collapses to $|0\rangle$? What about $|1\rangle$?
2. What is the state of the 2-qbit system after measurement?

For the first question, the intuitive answer is this: take the sum of squares of all amplitudes associated with the value for which you want to find the probability of collapse. So, if you want to know the probability of the measured qbit collapsing to $|0\rangle$, you'd look at the amplitudes associated with cases $|00\rangle$ and $|01\rangle$, because those are the cases where the measured qbit is $|0\rangle$. Thus:

$P[|0\rangle] = |\alpha_{00}|^2 + |\alpha_{01}|^2$

Similarly, for $|1\rangle$ you look at the amplitudes associated with cases $|10\rangle$ and $|11\rangle$, so:

$P[|1\rangle] = |\alpha_{10}|^2 + |\alpha_{11}|^2$

As for the state of the 2-qbit system after measurement, what you do is cross out all the components of the superposition which are inconsistent with the answer you got. So, if you measured $|0\rangle$, then the state after measurement is:

$\require{cancel} |\psi\rangle = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle + \cancel{\alpha_{10}|10\rangle} + \cancel{\alpha_{11}|11\rangle} = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle$

However, this state is not normalized - the sum of squares does not add up to 1, and so you have to normalize it:

$|\psi\rangle = \frac{\alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle}{\sqrt{|\alpha_{00}|^2 + |\alpha_{01}|^2}}$

Similarly, if you measured $|1\rangle$ then you'd get:

$\require{cancel} |\psi\rangle = \cancel{\alpha_{00}|00\rangle} + \cancel{\alpha_{01}|01\rangle} + \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle = \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle$

Normalized:

$|\psi\rangle = \frac{\alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle}{\sqrt{|\alpha_{10}|^2 + |\alpha_{11}|^2}}$

And that's how you calculate the action of measuring one qbit in a multi-qbit state, in the simplest case!