Alternative zur Blochkugel zur Darstellung eines einzelnen Qubits

Zur Darstellung des einzelnen Qubits $|\psi\rangle$ Wir verwenden einen unitären Vektors in einem $\mathbb{C}^2$ Hilbert - Raum , der (einer der) orthonormal Base $(|0\rangle, |1\rangle)$ .

Wir können zeichnen $|\psi\rangle$ mit einem Bloch Ball . Ich fand diese Notation jedoch ziemlich verwirrend, da orthogonale Vektoren räumlich antiparallel sind ( kurze Erklärung in dieser Physics Stackexchange-Frage ).

Kennen Sie eine andere grafische Darstellung für ein einzelnes Qubit?

In dem in Ihrer Frage enthaltenen Link zu einer anderen Frage, die von user098876, "Understanding the Bloch sphere", geschrieben wurde, gibt Daniel einen hilfreichen Kommentar ab:

"Das Zeichnen von Punkten auf der Kugel, um den Zustand eines Quanten-Zwei-Ebenen-Systems darzustellen, bedeutet nicht, dass Sie sich diese Punkte als reelle Vektoren im 3D-Raum vorstellen sollten. - DanielSank 3. September 15 um 20:17."

Vereinfachte Erklärung: Es ist eine zweiseitige Ebene (oder zwei Ebenen), die auf eine Kugel projiziert wird.

"Ich fand diese Notation ziemlich verwirrend, weil orthogonale Vektoren räumlich antiparallel sind ( kurze Erklärung in dieser Physik-Stapelaustausch-Frage ). Kennen Sie eine andere grafische Darstellung für ein einzelnes Qubit?"

Es gibt eine Reihe von Bemühungen, um eine allgemeinere Darstellung zu schaffen, die von Qubits zu Qubits reicht. Diese Erklärung und Darstellung unter Verwendung einer Majorana- Kugel ist nicht so unterschiedlich , sie ist immer noch eine Kugel, aber vielleicht weniger verwirrend:

Für Qubits auf einer Majorana-Kugel siehe: " N-Qubit-Zustände als Punkte auf der Bloch-Kugel ".

"Zusammenfassung. Wir zeigen, wie die Majorana-Repräsentation verwendet werden kann, um die reinen Zustände eines N-Qubit-Systems auszudrücken ... Zusammenfassend ist die Majorana-Repräsentation nützlich, wenn Spin- Teilchen untersucht werden, während die alternative Repräsentation vorzuziehen ist, wenn die Zustände eines N- Qubit-Systems werden diskutiert. Neben der Visualisierung von N- Qubit-Zuständen und der Art und Weise, wie sie sich in Rotationen und anderen Operationen umwandeln, kann die letztgenannte Darstellung auch dazu beitragen, einige spezielle N- Qubit-Zustände zu identifizieren , wie dies in der Majorana-Darstellung der Fall war der Kontext von Spinor Bose-Einstein kondensiert. "$S$$N$$N$$N$

Siehe: " Majorana-Darstellung, Qutrit-Hilbert-Raum und NMR-Implementierung von Qutrit-Gates ":

Seite 1:

"Die Bloch - Kugel liefert eine Darstellung der Quantenzustände eines einzelnen Qubits auf (eine Einheitskugel in drei reellen Dimensionen), wobei reine Zustände auf die Oberfläche abgebildet werden und die gemischten Zustände im Inneren liegen. Diese geometrische Darstellung ist nützlich in Bereitstellung einer Visualisierung von Quantenzuständen und ihrer Transformationen, insbesondere im Fall von NMR-basierten Quantenberechnungen, bei denen der Spin- 1$\mathcal S^2$$\frac{1}{2}$ Magnetisierung und ihre Transformation durch NMR-HF-Impulse wird auf der Bloch-Kugel sichtbar gemacht. Es gab mehrere Vorschläge für die geometrische Darstellung von Quantensystemen höherer Ebene, jedoch ist die Erweiterung eines blochkugelartigen Bildes auf höhere Spins nicht einfach. Eine geometrische Darstellung wurde durch Majoranain denen ein reiner Zustand eines Spin ‚vorgeschlagen‘ wird dargestellt durch ‚2s‘ Punkte auf der Oberfläche einer Einheitskugel,genannte Majorana Kugel.$s$$_s$

Die Majorana Darstellung für Systeme breite Anwendung , wie beispielsweise die Bestimmung geometrische Phase des Spins, darstellt gefunden N durch spinors N Punkte, geometrische Darstellung von Multi-Qubit verschränkten Zuständen, Statistik chaotischer Quanten dynamischen Systeme und Charakterisieren von polarisiertem Licht. Ein einzelnes Qutrit (Drei-Ebenen-Quantensystem) ist von besonderer Bedeutung in quit-basierten ( D- Ebenen- Quantensystem) Quantenberechnungsschemata. Ein Qutrit ist das kleinste System, das inhärente Quantenmerkmale aufweist, wie z. B. Kontextualität, von der vermutet wurde, dass sie eine Ressource für das Quantencomputing darstellt . NMR-Qudit-Quanten-Computing kann unter Verwendung von Kernen mit Spin s> 1 durchgeführt werden$s$$N$$N$$d$$\frac{1}{2}$ oder kann durch zwei oder mehr gekoppelte Spin-1modelliert werden$\frac{1}{2}$ Kerne. In dieser Arbeit verwenden wir die Beschreibung der Majorana-Sphäre eines einzelnen Qutrit, bei der Zustände eines Qutrit durch ein Paar von Punkten auf einer Einheitskugel dargestellt werden, um Einblicke in den Qutrit-Zustandsraum zu erhalten.

Seite 5:

Die Größe des Magnetisierungsvektors → M | In einem reinen Ensemble aus einem einzigen Qutrit können Werte im Bereich [ 0 , 1 ] angenommen werden . Im Gegenteil, das reine Ensemble eines Qubits besitzt immer eineEinheitsgröße-$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$ des ihm zugeordneten Magnetisierungsvektors . Das geometrische Bild des einzelnen Qutrit-Magnetisierungsvektors wird durch die Majorana-Darstellung bereitgestellt. Der Wert | - → M | hängt von der Länge der Halbierenden O O 'ab und liegt entlang der zAchse und ist rotationsinvariant. Entsprechend einem gegebenen Wert der Länge der Winkelhalbierenden kann man konzentrische Kugeln mit kontinuierlich variierenden Radien annehmen, deren Oberflächen die Oberflächen konstanter Magnetisierung sind. Die Radien dieser Kugeln sind gleich$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$OO'$$z$→ M | , die im Bereich [ 0 , 1 ] variieren.$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$

Seite 10:

ABSCHLIESSENDE BEMERKUNGEN

In dieser Arbeit wird eine geometrische Darstellung eines Qutrit beschrieben, wobei die Qutrit-Zustände gemäß der Majorana-Darstellung durch zwei Punkte auf einer Einheitskugel dargestellt werden. Eine Parametrisierung einzelsträngiger qutrit Staaten erhalten , um beliebige Zustände von einer Ein-Parameter - Familie von kanonischen Zuständen über die Wirkung der Erzeugung Transformationen. Der Spin- 1- Magnetisierungsvektor wurde auf der Majorana-Kugel dargestellt, und Zustände wurden in Abhängigkeit vom Null- oder Nicht-Null-Wert der Spinmagnetisierung als "zeigend" oder "nicht zeigend" identifiziert. Die durch die Wirkung von S U ( 3 ) erzeugten Transformationen$SO(3)$$1$$SU(3)$Generatoren wurden auch in das geometrische Bild von Majorana integriert. Im Gegensatz zu Qubits ist die Zerlegung von Einzel-Qutrit-Quantentoren in Radiofrequenzpulse nicht einfach, und die Darstellung der Majorana-Kugel bietet eine Möglichkeit, diese Tore geometrisch zu beschreiben. Es wurden genaue Beobachtungen der Dynamik von Punkten, die einen Qutrit auf der Majorana-Kugel darstellen, unter Einwirkung verschiedener Quantengatter verwendet, um die HF-Impulszerlegungen zu erhalten, und grundlegende Einzel-Qutrit-Gatter wurden experimentell unter Verwendung von NMR implementiert.

FEIGE. 1. Ein Qutrit auf der Majorana-Kugel wird durch zwei Punkte und P 2 dargestellt , die mit dem Mittelpunkt der Kugel durch Linien verbunden sind, die jeweils in Rot und Blau gezeigt sind. θ 1 , ϕ 1 sind die dem Punkt P entsprechenden Polar- und Azimutwinkel$P_1$$P_2$$\theta_1$$\phi_1$( θ 2 , ϕ 2 sind die Winkel für den Punkt P 2 ). (a) Die Wurzeln des Majorana-Polynoms sind in der Ebene z = 0 durch Punkte dargestellt$P_1$$\theta_2$$\phi_2$$P_2$$z = 0$ und P ' $P'_1$$P'_2$, aus deren stereografischer Projektion die Majorana-Darstellung hervorgeht. Es sind drei Beispiele gezeigt, die der Majorana-Darstellung von Einfach-Qutrit-Basisvektoren entsprechen , ( c $(b)\;\vert+1\rangle$ und ( d $(c)\;\vert0\rangle$ . Einer der Punkte wird als ausgefüllter (roter) Kreis dargestellt, während der andere Punkt durch einen leeren (blauen) Kreis dargestellt wird.$(d)\;\vert-1\rangle$

Siehe: " Majorana-Darstellung höherer Spinzustände " (.PDF) von Wheeler (Website) oder " Wigner-Tomographie von Multispin-Quantenzuständen ":

Wie sieht es mit der Tomographie aus? "In diesem Artikel entwickeln wir theoretisch ein Tomographieschema für sphärische Funktionen beliebiger Multispin-Quantenzustände. Wir untersuchen experimentelle Schemata, um die verallgemeinerte Wigner-Darstellung eines gegebenen Dichteoperators (der gemischte oder reine Quantenzustände darstellt) zu rekonstruieren ). "

Vergleichen Sie das mit der Komplexität der Blochkugel, die in " Blochkugeldarstellung dreischeiteliger geometrischer Phasen " dargestellt ist. Die Form ist die gleiche, so wie Sie die verwendete Projektion visualisieren.

Hier ist ein weniger geschäftiges Bild:

Denken Sie an die Blochkugel, die von einem sehr großen Blatt Papier in zwei Hälften geschnitten wurde. Am Rand des Papiers (unendlich) zeichnet ein beliebiger Punkt auf der Oberseite des Blatts eine Linie zur (unendlich) Oberseite des Balls (der Unterseite des Balls für die Unterseite des Blatts). Punkte, die der Papiermitte am nächsten liegen (gemischte Zustände), zeichnen Linien zur Kugelmitte. Das ist die Entfernung bis unendlich auf einem winzigen Ball. Ein Qubit / Qubit ist endlich, also ist das Papier nicht so groß.

Zeichnen Sie nun Punkte auf dem 2D-Papier, ziehen Sie Linien vom Papier zur Kugel, entfernen Sie das Papier und schauen Sie auf die durchsichtige Kugel oder durch sie hindurch, um den anderen Endpunkt der Linie zu sehen.

Eine viel genauere und schwierigere Erklärung finden Sie in den obigen Links.

Hinzufügen zu dem, was @pyramids in ihrer Antwort vermittelt :

Der Zustand eines Qubits wird im Allgemeinen als , wobei α $\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$ und | α | 2 + | β | $\alpha, \beta \in \Bbb{C}$ .$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$

ist ein vierdimensionaler Vektorraum über dem Feld reeller Zahlen. Dajeder n- dimensionale reelle Vektorraum isomorph zu0,0,0 ist$\Bbb{C}^2(\Bbb{R})$$n$$\Bbb{R}^n(\Bbb{R})$, können Sie den Zustand jedes Qubits auch als Punkt in einemdimensionalen reellen Raum darstellen, dessen Basisvektoren Sie als(1,0,0) betrachten können,0),(0,1,0,0),(0,0,$4$ . In einem solchen Fall würde der Zustand eines Qubits als a ( 1 , 0 , 0 , 0 ) + ) + c ( 0 , 0 , 1 , 0 ) + d ( 0 , 0 $(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$$a(1,0,0,0)+b(0,1,0,0)+c(0,0,1,0)+d(0,0,0,1)$.

Sagen wir, (wobei a , b ≤ R ist ) und β = c + i d (wobei c , d ≤ R ist ). Sie benötigen die Bedingung | a + i b | 2 + | c + i d | 2 = $\alpha = a + i b$$a,b\in \Bbb{R}$$\beta = c + id$$c,d\in \Bbb{R}$ zu erfüllen, was impliziert, dass der Zustand des Qubits ein Punkt auf einer3-Sphäre wäre.$|a+ib|^2+|c+id|^2=1\implies a^2+b^2+c^2+d^2=1$

Wie Sie wissen, ist es schwierig, eine 4 effizient darzustellen$4$ auf einer -dimensionalen Raum wie ein Papier -dimensional Oberfläche oder den Bildschirm. Daher sehen Sie diese häufig verwendete Darstellung nicht. Die Blochkugel ist so ziemlich die effizienteste Darstellung (für ein einzelnes Qubit), da sie einen Freiheitsgrad (der komplexen Zahlen α , β ) verringert$2$$\alpha,\beta$ jeweils zwei Freiheitsgraden) aufgrund des Zustands eines Qubits wird normalerweise auf eine Größe von normalisiert, dh | α | 2 + | β | $1$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$.

Verwenden Sie nun die Hopf-Koordinaten Sagen wir :

$$\alpha = e^{i\psi}\cos(\theta/2)$$

$$\beta = e^{i(\psi+\phi)}\sin(\theta/2)$$

Hier kann von 0 bis π laufen$\theta$$0$$\pi$$\psi$$\phi+\psi$$0$$\pi$ .

$\theta/2$$\theta$ hervorragenden Thread zu Physics Stack Exchange.

$\psi,\phi,\theta$ , während Sie in einer Einheitsradiuskugel nur zwei Winkel haben, die Sie ändern können, um die verschiedenen Zustände eines Qubits zu erhalten.

$\phi$$\alpha$$\beta$$\psi$$\alpha,\beta$$\phi$$\psi$$\alpha,\beta$$|e^{i\varphi}|=1$$\varphi$$\psi$$\alpha,\beta$ $\alpha$$e^{i\psi}$ .

So erhalten wir:

$$\alpha = \cos(\theta/2)$$ $$\beta=e^{i\phi}\sin(\theta/2)$$ $\theta$$0$$\pi$$\phi$$0$$2\pi$ .

$2$$3$$2$

Mathematisch ist es nicht möglich, die Freiheitsgrade weiter zu reduzieren, und so würde ich sagen, es gibt keine andere "effizientere" geometrische Darstellung eines einzelnen Qubits als die Bloch-Kugel.

_{Quelle: Wikipedia: Bloch_Sphere}

Die Bloch-Sphäre hat sich historisch entwickelt, um Spins zu beschreiben, bei denen Auf und Ab tatsächlich als (anti) parallel und nicht als (mathematisch) orthogonal angesehen werden können.

Sie können den Zustand eines Qubits natürlich (und vielleicht auch natürlicher!) So darstellen, dass orthogonale Zustände tatsächlich orthogonal sind. Dann besetzt ein reiner 1-Qubit-Zustand einen Punkt auf der Oberfläche einer 4-dimensionalen Kugel.

(Erstens ist die Anforderung "Reputationspunkte" dumm - diese Bemerkung sollte ein Kommentar zum vorherigen Beitrag sein.)

Ein einzelnes Qubit in einem reinen Zustand hat 2 echte Freiheitsgrade, nicht 3, wenn Sie sowohl Größe als auch Phase ausrechnen (dh komplexe Normalisierung). Es können also die sinnvollsten zweidimensionalen Oberflächen verwendet werden (z. B. die 2-Kugel oder alles topologisch Äquivalente).

Eine nützliche Darstellung zu finden, ist eine andere Geschichte. Die Bloch-Sphäre hat eine natürliche Ausdehnung auf Mischzustände (die 3 Freiheitsgrade haben), während dies ansonsten nicht der Fall zu sein scheint.