^{Anmerkung zum Wortschatz: In dieser Frage wird das Wort "Hamiltonian" verwendet, um über Hermitianische Matrizen zu sprechen.}

Der HHL-Algorithmus scheint ein aktiver Forschungsgegenstand auf dem Gebiet des Quantencomputers zu sein, vor allem, weil er ein sehr wichtiges Problem löst, das darin besteht, die Lösung eines linearen Gleichungssystems zu finden.

Gemäß dem Originalpapier Quantenalgorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) und einigen auf dieser Site gestellten Fragen

• Quantenphasenschätzung und HHL-Algorithmus - Kenntnisse über Eigenwerte erforderlich?
• Quantenalgorithmus für lineare Gleichungssysteme (HHL09): Schritt 2 - Vorbereitung der Anfangszustände $\vert \Psi_0 \rangle$ und $\vert b \rangle$

Der HHL-Algorithmus ist auf bestimmte Fälle beschränkt. Hier ist eine Zusammenfassung (die möglicherweise unvollständig ist!) Der Merkmale des HHL-Algorithmus:

HHL-Algorithmus

Der HHL-Algorithmus löst ein lineares System der Gleichung mit den folgenden Einschränkungen:

Einschränkungen für :$A$

• muss hermitisch sein (und nur die hermitische Matrix funktioniert, siehediese Diskussion im Chat).$A$
• ‚s Eigenwerte Bedürfnisse in sein [ 0 , 1 ) (sieheQuantum Phasenschätzung und HHLAlgorithmus - Kenntnisse über Eigenwert erforderlich)$A$$[0,1)$
• Anforderungen effizient implementierbar sein. Im Moment sind die einzigen bekannten Matrizen, die diese Eigenschaft erfüllen: $e^{iAt}$
  • lokale Hamiltonianer (siehe Universal Quantum Simulators (Lloyd, 1996) ).
  • sparsame Hamiltonianer (sieheAdiabatischeQuantenzustandserzeugungund Statistical Zero Knowledge (Aharonov & Ta-Shma, 2003)).$s$

Einschränkungen bei :$\vert b \rangle$

• sollte effizient herstellbaren sein. Dies ist der Fall für: $\vert b \rangle$
  1. Spezifische Ausdrücke . Zum Beispiel der Staat | b ⟩ = n ⨂ i = 0 ( | 0 ⟩ + | 1 $\vert b \rangle$ ist effizient herstellbar. $$\vert b \rangle = \bigotimes_{i=0}^{n} \left( \frac{\vert 0 \rangle + \vert 1 \rangle}{\sqrt{2}} \right)$$
  2. , die die Diskretisierung einer effizienten integrierbare Wahrscheinlichkeitsverteilung (sieheÜberlagerungendass entsprechen effizient integrierbare Wahrscheinlichkeitsverteilungen erstellen (Grover & Rudolph, 2002)).$\vert b \rangle$

Einschränkungen bei (Ausgang):$\vert x \rangle$

• kann nicht vollständig durchMessung gewonnen werden. Die einzige Informationwir wiederherstellen können von | x ⟩ ist ein „allgemeine Informationen“ wie ( „Erwartungswert“ der Begriff in dem ursprünglichen HHL Papier beschäftigt ist) ⟨ x | M | x $\vert x \rangle$$\vert x \rangle$ $$\langle x\vert M\vert x \rangle$$

Frage: Unter Berücksichtigung all dieser Einschränkungen und der Vorstellung, dass wir im Jahr 2050 (oder vielleicht im Jahr 2025, wer weiß?) Mit fehlertoleranten großen Quantenchips (dh wir sind nicht durch die Hardware beschränkt) Probleme in der realen Welt haben könnte der HHL-Algorithmus lösen (einschließlich der Probleme, bei denen HHL nur als Unterprogramm verwendet wird)?

Mir ist die Arbeit Konkrete Ressourcenanalyse des quantenlinearen Systemalgorithmus zur Berechnung des elektromagnetischen Streuquerschnitts eines 2D-Ziels (Scherer, Valiron, Mau, Alexander, van den Berg & Chapuran, 2016) und die entsprechende Implementierung in bekannt die Programmiersprache Quipper und ich suche nach anderen Beispielen aus der Praxis, bei denen die HHL in der Praxis anwendbar wäre. Ich habe kein veröffentlichtes Papier benötigt, nicht einmal ein nicht veröffentlichtes Papier, ich möchte nur einige Beispiele haben reale Anwendungsfälle.

BEARBEITEN:

Auch wenn ich an jedem Anwendungsfall interessiert bin, würde ich einige Beispiele vorziehen, bei denen HHL direkt verwendet wird, dh nicht als Unterprogramm eines anderen Algorithmus verwendet wird.

Ich interessiere mich noch mehr für Beispiele linearer Systeme, die aus der Diskretisierung eines Differentialoperators resultieren und mit HHL gelöst werden könnten.

Aber lassen Sie mich noch einmal betonen, dass mich jeder Anwendungsfall (Unterprogramme oder nicht) interessiert, den Sie kennen .

Vor einigen Jahren wurde in Quantenalgorithmen und der Finite-Elemente-Methode von Montanaro und Pallister gezeigt, dass der HHL-Algorithmus auf die Finite-Elemente-Methode (FEM) angewendet werden kann Probleme (BVPs) für partielle Differentialgleichungen, basierend auf der Diskretisierung des Parameterraums über ein endliches Netz " .

Sie zeigten, dass in diesem Zusammenhang mit HHL (vielleicht höchstens) eine polynomielle Beschleunigung gegenüber dem klassischen Standardalgorithmus (der "konjugierten Gradientenmethode") erzielt werden kann.

In Bezug auf reale Anwendungsfälle geben sie dies an

$n$

$A$

Rebentrost et al. haben kürzlich den HHL09-Algorithmus in ihrem Artikel A Quantum Hopfield Neural Network (2018) zur Optimierung der Energiefunktion des Hopfield-Netzwerks verwendet.

Grundsätzlich gilt, wenn der Lagrange (der zur Optimierung der Netzenergie verwendet wird) $E = -\frac{1}{2}x^{T}Wx + \theta^Tx$ gegeben die Einschränkung $Px - x^{\text{(inc)}} = 0$) ist:

Kurz gesagt, ich glaube, sobald wir Quantencomputer mit einer ausreichend großen Anzahl von Qubits und Dekohärenzzeiten haben, wird der HHL-Algorithmus eine der nützlichsten Unterroutinen für jeden Algorithmus des quantenmaschinellen Lernens (da fast alle maschinellen Lernvorgänge und neuronalen Netze) sein Algorithmen beinhalten irgendeine Form von "Gradientenabstieg" oder "Optimierung".