Ist die Pauli-Gruppe für

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Die Pauli-Gruppe für Qubits ist definiert als G n = { I , X , Y , Z } n , dh als die Gruppe, die alle möglichen Tensorprodukte zwischen n Pauli-Matrizen enthält. Es ist klar, dass die Pauli-Matrizen eine Basis für die 2 × 2- Komplexmatrixvektorräume bilden, dh C 2 × 2 . Abgesehen davon ist aus der Definition des Tensorprodukts bekannt, dass die n- Qubit-Pauli-Gruppe eine Basis für den Tensorproduktraum ( C 2 ×) bilden wirdnGn={I,X,Y,Z}nn2×2C2×2n .(C2×2)n

Ich frage mich, ob die Pauli-Gruppe in Qubits eine Grundlage für den komplexen Vektorraum bildet, in dem die Elemente dieses Tensorproduktraums wirken, dh C 2 n × 2 n . Zusammenfassend wäre die Frage, ob ( C 2 × 2 ) n = C 2 n × 2 n wahr ist.nC2n×2n(C2×2)n=C2n×2n

Ich habe versucht, es mit Argumenten über die Dimensionen beider Räume zu beweisen, aber ich konnte noch nichts bekommen.

Josu Etxezarreta Martinez
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Antworten:

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nI2n×2n4n4n

Tr(AB)Tr(CD)=Tr(C)Tr(D)

Biryani
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Danke für die Antwort. Bedeutet dies dann, dass durch Diskretisierung von Fehlern die Berücksichtigung der Pauli-Gruppe als Menge aller möglichen Fehler auch alle Fehler beim Entwerfen eines Fehlerkorrekturcodes berücksichtigt werden?
Josu Etxezarreta Martinez
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Ja. Bei der Fehlerkorrektur werden allgemeine Fehler in eine lineare Kombination von Pauli-Fehlern zerlegt und korrigiert. Eine ausführlichere Erklärung dazu finden Sie in Theorie.caltech.edu/people/preskill/ph229/notes/chap7.pdf .
Biryani