Ist die Pauli-Gruppe für

Die Pauli-Gruppe für Qubits ist definiert als G n = { I , X , Y , Z } ⊗ n , dh als die Gruppe, die alle möglichen Tensorprodukte zwischen n Pauli-Matrizen enthält. Es ist klar, dass die Pauli-Matrizen eine Basis für die 2 × 2- Komplexmatrixvektorräume bilden, dh C 2 × 2 . Abgesehen davon ist aus der Definition des Tensorprodukts bekannt, dass die n- Qubit-Pauli-Gruppe eine Basis für den Tensorproduktraum ( C 2 $n$$G_n=\{I,X,Y,Z \}^{\otimes n}$$n$$2\times 2$$\mathbb{C}^{2\times 2}$$n$ .$(\mathbb{C}^{2\times 2})^{\otimes n}$

Ich frage mich, ob die Pauli-Gruppe in Qubits eine Grundlage für den komplexen Vektorraum bildet, in dem die Elemente dieses Tensorproduktraums wirken, dh C 2 n × 2 n . Zusammenfassend wäre die Frage, ob ( C 2 × 2 ) ⊗ n = C 2 n × 2 n wahr ist.$n$$\mathbb{C}^{2^n\times 2^n}$$(\mathbb{C}^{2\times 2})^{\otimes n}=\mathbb{C}^{2^n\times 2^n}$

Ich habe versucht, es mit Argumenten über die Dimensionen beider Räume zu beweisen, aber ich konnte noch nichts bekommen.

$n$$I$$2^n \times 2^n$$4^n$$4^n$

$Tr(AB^\dagger)$$Tr(C \otimes D) = Tr(C)Tr(D)$