Isomorphismus zwischen der Clifford-Gruppe und den Quaternionen

Wie finde ich einen expliziten Isomorphismus zwischen den Elementen der Clifford-Gruppe und etwa 24 Quaternionen?

Der einfache Teil: Die Multiplikation von Matrizen sollte der Multiplikation von Quaternionen entsprechen.

Die Identitätsmatrix $I$ sollte dem Quaternion $1$ .

Der schwierige Teil: Worauf sollten die anderen Elemente der Clifford-Gruppe abgebildet werden? Da die folgenden Elemente die gesamte Gruppe generieren, ist die Zuordnung dieser Elemente ausreichend:

Kann jemand helfen?

Die Quaternionen werden durch die Einheitsmatrix und die Pauli-Matrizen multipliziert mit der imaginären Einheit in zwei Dimensionen getreu dargestellt: $i = \sqrt{-1} X$$j = \sqrt{-1} Y$$k = \sqrt{-1} Z$$H$$P$$H = -\frac{\sqrt{-1} }{\sqrt{2}}(i+k)$$P = \frac{1+\sqrt{-1}}{2}(1-k)$

Dies ist jedoch kein Isomorphismus zwischen der Clifford-Gruppe und den Quaternionen, da wir hier die Quaternionen als Algebra und nicht als Gruppe verwenden. Was gesagt werden kann, dass die Clifford-Gruppe isomorph zu einer Untergruppe invertierbarer Elemente der Quaternionsalgebra ist.

$\pm 1$$\pm (-iX = R_x(\pi))$$\pm (-iY = R_y(\pi))$$\pm (-iZ = R_z(\pi))$$\pi$Rotationen um zwei Hauptachsen. Die Quaternionsgruppe der Ordnung 8 ist jedoch nicht isomorph zur Clifford-Gruppe der Ordnung 24, die durch erzeugt werden kann$\frac{\pi}{2}$

Klarstellungen

@Knot Log, Entschuldigung, ich habe Sie in zwei Punkten in die Irre geführt:

$i = \sqrt{-1} X$$j = \sqrt{-1} Y$$k = \sqrt{-1} Z$$-1$

$\sqrt{-1}$$i$$H$$P$

$H$$P$$\mathbb{Z}_8$

$24$$R_x(\frac{\pi}{2})$$R_z(\frac{\pi}{2})$